Теорема о перпендикулярной оси

Теорема о перпендикулярной оси (или теорема о плоской фигуре ) гласит: « Момент инерции ( I _z ) ламинарного тела относительно оси (z), перпендикулярной его плоскости, представляет собой сумму его моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей ( x и y) в его плоскости, причем все три оси совпадают».

Определить перпендикулярные оси $x$ , $y$ , и $z$ (которые встречаются в начале $O$ ) так, что тело лежит в $xy$ самолет, и $z$ ось перпендикулярна плоскости тела. Пусть I _x , I _y и I _z — моменты инерции относительно осей x , y , z соответственно. Тогда теорема о перпендикулярной оси утверждает, что ^[1]

I_{z}=I_{x}+I_{y}

Это правило можно применять вместе с теоремой о параллельных осях и правилом растяжения , чтобы найти полярные моменты инерции для различных форм.

Если плоский объект обладает вращательной симметрией такой, что $I_{x}$ и $I_{y}$ равны, ^[2]тогда теорема о перпендикулярных осях дает полезное соотношение:

I_{z}=2I_{x}=2I_{y}

Вывод

В декартовых координатах момент инерции плоского тела относительно $z$ ось определяется как: ^[3]

I_{z}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm=\int x^{2}\,dm+\int y^{2}\,dm=I_{y}+I_{x}

В самолете, $z=0$ , поэтому эти два члена представляют собой моменты инерции относительно $x$ и $y$ оси соответственно, что дает теорему о перпендикулярной оси.Аналогично выводится и обратное утверждение этой теоремы.

Обратите внимание, что $\int x^{2}\,dm=I_{y}\neq I_{x}$ потому что в $\int r^{2}\,dm$ , $r$ измеряет расстояние от оси вращения , поэтому при вращении по оси y расстояние отклонения точки от оси вращения равно ее x координате .

Ссылки

^ Пол А. Типлер (1976). «Гл. 12: Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси». Физика . Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-Х .
^ Обрегон, Хоакин (2012). Механическая симметрия . Авторский дом. ISBN 978-1-4772-3372-6 .
^ К. Ф. Райли, член парламента Хобсон и С. Дж. Бенс (2006). «Глава 6: Кратные интегралы». Математические методы в физике и технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-67971-8 .

См. также

[1] Пол А. Типлер (1976). «Гл. 12: Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси». Физика . Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-Х .

[2] Обрегон, Хоакин (2012). Механическая симметрия . Авторский дом. ISBN 978-1-4772-3372-6 .

[3] К. Ф. Райли, член парламента Хобсон и С. Дж. Бенс (2006). «Глава 6: Кратные интегралы». Математические методы в физике и технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-67971-8 .

[1]

[2]

[3]