Правило растяжения

В классической механике правило растяжения (иногда называемое ) правилом Рауса гласит, что момент инерции не твердого объекта изменяется, когда объект растягивается параллельно оси вращения, которая является главной осью , при условии, что распределение массы остается неизменной, за исключением направления, параллельного оси. Эта операция оставляет цилиндры, ориентированные параллельно оси, неизменными по радиусу.

Это правило можно применить вместе с теоремой о параллельной оси и теоремой о перпендикулярной оси, чтобы найти моменты инерции для различных форм.

Вывод

(Скалярный) момент инерции твердого тела вокруг оси z определяется выражением:

$I_{z}=\int _{V}d^{3}r\,\rho (\mathbf {r} )\,r^{2}$

Где $r$ расстояние точки от оси z. Мы можем разложить следующим образом, поскольку мы имеем дело только с растяжением по оси z :

$I_{z}=\int _{0}^{L}dz\int _{x,y}dx\,dy\,\rho (x,y,z)\,r^{2}$

Здесь, $L$ это высота тела. Растягивание объекта в раз $a$ вдоль оси z эквивалентно делению плотности массы на $a$ (значение $\rho '(x,y,z)=\rho (x,y,z/a)/a$), а также интеграция по новым пределам $0$ и $aL$ (новая высота объекта), оставляя таким образом общую массу неизменной. Это значит, что новый момент инерции составит:

${\begin{aligned}I_{z}'&=\int _{0}^{aL}dz\int _{x,y}dx\,dy\,\rho '(x,y,z)\,r^{2}\\[8pt]&=\int _{0}^{L}a\,dz'\int _{x,y}dx\,dy\,{\frac {\rho (x,y,z/a)}{a}}\,r^{2}\\[8pt]&=\int _{0}^{L}dz'\int _{x,y}dx\,dy\,\rho (x,y,z')\,r^{2}=I_{z}\end{aligned}}$