Пропорциональные рассуждения

Рассуждение, основанное на отношениях пропорциональности, является одной из форм того, что в теории когнитивного развития Пиаже называется «формальным операционным рассуждением», которое приобретается на более поздних стадиях интеллектуального развития. Существуют методы, с помощью которых учителя могут помочь учащимся правильно применять пропорциональные рассуждения .

По математике и физике

В математике и физике пропорциональность — это математическое соотношение между двумя величинами; его можно выразить как равенство двух отношений:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

Функционально пропорциональность может представлять собой связь между переменными в математическом уравнении. Например, дано следующее уравнение силы тяжести (по Ньютону ):

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

сила гравитации между двумя массами прямо пропорциональна произведению двух масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между двумя массами.

Интеллектуальное развитие

В модели интеллектуального развития Пиаже четвёртой и последней стадией является формальная операциональная стадия . «Рост логического мышления от детства к подростковому возрасту» В классической книге Жана Пиаже и Бербеля Инхельдера формальное операционное рассуждение принимает множество форм, включая пропозициональное рассуждение, дедуктивную логику, разделение и контроль переменных, комбинаторное рассуждение и пропорциональное рассуждение. Роберт Карплюс , преподаватель естественных наук в 1960-х и 1970-х годах, исследовал все эти формы рассуждения у подростков и взрослых. Мистер Высокий-Мистер Шорт был одним из его учеников.

Примеры

Обратная пропорция

Сопоставимые модели рассуждений существуют и для обратной пропорциональности.

Водный треугольник

Consider a container of colored liquid inside a right triangle where the triangle can be tilted and the water levels on the left and right side can be measured on a built-in scale.  This is called a "water triangle":

The water triangle is rotated until it shows a measurement of 4 units on the left side and 6 units on the right side.
Suppose the triangle is tilted even more until the water level on the right side is at 8 units.  Predict what the water level in units will be on the left side.

Типовые решения

Кто-то, знающий площадь треугольников, может возразить: «Изначально площадь воды, образующей треугольник, равна 12, поскольку ⁠ 1/2 . × 4 × 6 = ⁠ 12. Количество воды не изменится, поэтому и площадь не изменится Итак, ответ 3, потому что ⁠ 1/2 8 = × 3 × ⁠ 12».

Правильный мультипликативный ответ встречается относительно редко. Безусловно, наиболее распространенным ответом является что-то вроде: «2 единицы, потому что уровень воды с правой стороны увеличился на две единицы, поэтому уровень воды с левой стороны должен уменьшиться на две единицы, и 4 – 2 = 2». Реже причиной появления двух единиц является: «Раньше всего было 10 единиц, потому что 4 + 6 = 10. Общее количество единиц должно оставаться прежним, поэтому ответ будет 2, потому что 2 + 8 = 10».

Итак, опять же, есть люди, которые не находятся на формальном оперативном уровне и применяют аддитивную стратегию, а не мультипликативную стратегию для решения обратной пропорции. И, как и прямая пропорция, эта неверная стратегия кажется человеку логичной и дает разумный ответ. Студенты очень удивляются, когда они действительно проводят эксперимент и наклоняют треугольник, чтобы обнаружить, что ответ — 3, а не 2, как они так уверенно предсказывали.

Рассматривая эти стратегии как функциональные отношения

Пусть T — рост мистера Высокого, а S — рост мистера Шорта, тогда правильная мультипликативная стратегия может быть выражена как T/S = 3/2; это постоянное соотношение отношений. Неправильная аддитивная стратегия может быть выражена как T – S = 2; это постоянное разностное соотношение. Вот график этих двух уравнений. Для числовых значений, включенных в постановку задачи, эти графики «похожи», и легко понять, почему люди считают свои неправильные ответы совершенно разумными.

Теперь рассмотрим нашу обратную пропорцию, используя «водный треугольник». Пусть L — высота воды слева, а R — высота воды справа, тогда правильную мультипликативную стратегию можно выразить как L × R = 24; это постоянное отношение продукта. Неправильную аддитивную стратегию можно выразить как L + R = 10; это постоянное отношение суммы. Вот график этих двух уравнений. Для числовых значений, включенных в постановку задачи, эти графики «похожи», и легко понять, почему люди считают свои неправильные ответы совершенно разумными.

Обучение пропорциональному мышлению

Как подтвердит любой опытный преподаватель. Недостаточно просто сказать учащемуся, что его ответ неверен, а затем поручить ему использовать правильное решение. Неправильная стратегия не была «отключена в мозгу» и всплывет вновь после завершения текущего урока.

Кроме того, упомянутые выше аддитивные стратегии нельзя просто назвать «неправильными», поскольку они правильно соответствуют другим ситуациям реального мира. Например, рассмотрим следующую проблему:

В День независимости в этом году г-ну Таллу было 6 лет, а г-ну Шорту — 4 года. В будущий День независимости г-ну Шорту исполнится 6 лет. Сколько лет будет мистеру Таллу в День независимости?

Аналогичным образом, соотношение постоянной суммы может быть правильным для некоторых ситуаций. Рассмотрим следующую проблему.

На левом берегу реки живут четыре бобра, а на правом берегу реки шесть бобров. В более позднее время с той же группой бобров на правом берегу реки встречаются восемь бобров. Сколько бобров будет с левой стороны?

Таким образом, есть ситуации, когда аддитивные отношения (постоянная разность и постоянная сумма) верны, и другие ситуации, когда правильны мультипликативные отношения (постоянное отношение и постоянное произведение).

Использование практических занятий и цикла обучения Karplus

Чрезвычайно важно, чтобы учащиеся сами осознали, что их текущий способ рассуждения, скажем, аддитивный, не подходит для мультипликативной проблемы, которую они пытаются решить. Роберт Карплюс разработал модель обучения, которую он назвал циклом обучения, которая облегчает приобретение новых навыков рассуждения.

1. Первый этап — это этап исследования, в ходе которого учащиеся учатся посредством собственных действий и реакций с минимальным руководством. Среда обучения должна быть тщательно спроектирована так, чтобы сосредоточить внимание учащихся на соответствующих вопросах. Учащиеся могут испытать некоторый когнитивный диссонанс , если обнаружат, что их ранее существовавшая стратегия не соответствует наблюдаемым результатам. Это может привести к вопросам, на которые они не смогут ответить, используя свои нынешние идеи или модели рассуждений.
2. На втором этапе концепция представлена ​​и объяснена. Здесь учитель более активен, и обучение достигается объяснением.
3. Наконец, на третьем этапе концепция применяется к новым ситуациям, и диапазон ее применимости расширяется. Обучение достигается путем повторения и практики, чтобы новые идеи и образы мышления имели время стабилизироваться.

Практические занятия чрезвычайно полезны в цикле обучения. После того, как учащиеся сделали прогнозы о росте мистера Талла с помощью скрепок для бумаг, можно представить измерительные инструменты, и учащиеся смогут проверить свои стратегии. Для учащегося, использующего соотношение постоянной разницы, фактическое измерение покажет, что рост мистера Толла на самом деле составляет девять скрепок для бумаг, и это вызовет некоторый когнитивный диссонанс.

То же самое справедливо и для обратных отношений. Вот фотография двух учеников, работающих с «водным треугольником». Учитывая проблему, отмеченную выше, большинство студентов предсказывают, что уровень воды на левой стороне упадет до двух единиц, когда водный треугольник будет наклонен. Когда они проводят эксперимент и видят, что ответ — 3 единицы, это вызывает некоторый когнитивный диссонанс. Это лучшее время для учителя, чтобы перевести урок на второй этап учебного цикла.

Важно, чтобы учащиеся не применяли чрезмерно мультипликативные стратегии, которые они изучают. Поэтому некоторые практические занятия могут не основываться на мультипликативном отношении. Вот изображение двух студентов, работающих с аппаратом, где соотношение постоянной суммы верно.

Не всегда возможно или осуществимо дать учащимся тщательно спланированные практические занятия. Кроме того, пожилая аудитория не всегда хорошо реагирует на практические эксперименты. Однако часто можно внести когнитивный диссонанс с помощью мысленных экспериментов .

Определение правильного соотношения на основе мысленных экспериментов

Во всех отмеченных выше экспериментах есть две переменные, значения которых изменяются на основе фиксированного соотношения. Рассмотрим следующую задачу, аналогичную задаче о мистере Талле и мистере Шорте.

Вот фотография отца и дочери. На этой картинке рост дочери 4 см, а рост отца 6 см. Решили увеличить картинку и на фотографии покрупнее дочка ростом 6 см. Насколько высок отец на увеличенном изображении?

Очень распространенный ответ для человека, использующего аддитивное отношение, — 8 см, потому что отец всегда на 2 см выше дочери. Итак, теперь задайте этому студенту следующий вопрос:

Предположим, они сделали очень уменьшенную версию исходной картинки и на этой маленькой картинке рост отца составляет 2 см. Какого роста будет дочь на этой маленькой картинке?

Ученик быстро понимает, что стратегия «отец всегда на 2 см выше дочери» неверна. Этого также можно достичь, исследуя другую крайность, когда исходное изображение увеличено до размера плаката, а высота дочери составляет 100 см. Насколько высоким будет отец на этом плакате? Ученик, ответивший на вопрос «рост 102 см», понимает, что отец и дочь почти одного роста, что не может быть правдой. При наличии когнитивного диссонанса учитель может ввести правильное соотношение, постоянное соотношение.

Учащемуся также можно предложить провести собственные мысленные эксперименты, например: «А что, если рост дочери увеличится вдвое при увеличении, что произойдет с ростом отца?» Большинство студентов, включая тех, кто еще находится на стадии конкретной эксплуатации, быстро ответят, что рост отца также должен удвоиться. Абстрактный мысленный эксперимент таков: «Предположим, что значение одной из переменных удвоилось, как изменится другая переменная?» Если ответ «двойной», то это может быть проблема с постоянным соотношением. Но если ответ не двойной, как, например, в приведенной выше проблеме возраста с мистером Толлом и мистером Шортом, то это не проблема постоянного соотношения.

Для обратных отношений, таких как «водный треугольник», предельные случаи также могут вызывать когнитивный диссонанс. Например:

Учитывая начальные условия, когда уровень воды слева равен 4 единицам, а уровень воды справа равен 6 единицам, спрогнозируйте, каков будет уровень воды слева, если треугольник будет наклоняться до тех пор, пока уровень воды справа не станет 10 единиц.

На этом этапе учащиеся откажутся от аддитивной стратегии, понимая, что 0 не может быть правильным ответом. Мысленный эксперимент можно провести для обратных отношений. Если значение одной переменной удваивается, что происходит с другой переменной? Если ответ ⁠ 1 / 2 ⁠, то это может быть постоянное отношение продукта (то есть обратная пропорция).

Построение графика значений переменных также может быть ценным инструментом для определения того, являются ли две переменные прямо пропорциональными или нет. Если они прямо пропорциональны, то значения должны находиться на прямой линии, и эта линия должна пересекать начало координат.

Расширение функционального мышления

Четыре функциональных отношения, отмеченные выше: постоянная сумма, постоянная разность, постоянное произведение и постоянное соотношение, основаны на четырех арифметических операциях, с которыми учащиеся наиболее знакомы, а именно: сложении, вычитании, умножении и делении. Большинство отношений в реальном мире не попадают ни в одну из этих категорий. Однако, если учащиеся освоят простые методы, такие как мысленные эксперименты и построение графиков, они смогут применять эти методы в более сложных ситуациях.

Снова рассмотрим уравнение Ньютона для силы тяжести:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

Если студент понимает функциональную связь между переменными, то он/она должен быть в состоянии ответить на следующие мысленные эксперименты.

Что произойдет с силой гравитационного притяжения, если:

• одна из масс увеличилась вдвое?
• одна масса увеличилась вдвое, а другая уменьшилась вдвое?
• обе массы увеличились вдвое?
• обе массы уменьшились вдвое?
• расстояние между массами увеличилось вдвое?
• расстояние между массами сократилось вдвое?

Как правило, мысленные эксперименты должны быть подтверждены экспериментальными результатами. Многие дети и взрослые, когда их просят провести мысленный эксперимент с массой объекта и скоростью, с которой он падает на землю, могут сказать, что если масса увеличится вдвое, то объект упадет в два раза быстрее. Однако экспериментальные результаты не подтверждают этот «логический» мысленный эксперимент, поэтому всегда важно, чтобы теоретические результаты согласовывались с экспериментальными данными.