Парадокс Геринга

Эксперимент, демонстрирующий парадокс Геринга: в обеих установках достигается одинаковое изменение магнитного потока. Однако только осциллограф приведенного ниже эксперимента показывает ненулевую летучесть.

Парадокс Геринга описывает физический эксперимент в области электромагнетизма, который, кажется, противоречит уравнению Максвелла в целом, а также закону индукции Фарадея и правилу потока в частности. В своем исследовании по этому вопросу Карл Геринг в 1908 году пришел к выводу, что обычное изложение закона Фарадея (на рубеже веков) было несовершенным и что его необходимо изменить, чтобы он стал универсальным. ^{[ 1 ]} С тех пор парадокс Геринга неоднократно использовался в дидактике физики для демонстрации применения закона индукции Фарадея. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} и его можно считать полностью понятным в рамках теории классической электродинамики. Однако Грабинский критикует то, что большинство презентаций во вводных учебниках были проблематичными. Либо закон Фарадея был неверно истолкован так, что это привело к путанице, либо были выбраны исключительно такие системы отсчета, которые избегают необходимости объяснения. ^{[ 6 ]} Далее парадокс Геринга впервые показан экспериментально на видео и - аналогично тому, как предложил Грабински - показано, что при тщательном и полном математическом последовательности эксперимент не противоречит закону индукции Фарадея. Наконец, упоминаются типичные ошибки применения закона Фарадея.

Эксперимент

Эксперимент показан на видео справа. В эксперименте используется железный сердечник с прорезями, где катушка, питаемая постоянным током, создает постоянное магнитное поле в сердечнике и в его пазу.

Параллельно проводятся два разных эксперимента:

*В нижней части через паз железного сердечника пропускается обычная токопроводящая петля. Поскольку в этом пазе имеется магнитное поле, на концах контура проводника генерируется напряжение, которое усиливается и отображается на нижнем изображении осциллографа.

*В верхней части реализован модифицированный контур проводника. Петля проводника разрезается в одной точке, а разделенные концы закрепляются металлическим колесом. В ходе эксперимента металлические колеса перемещаются вокруг магнитопровода и оказывают определенное контактное давление друг на друга и на сердечник соответственно. Поскольку магнитный сердечник является электропроводным, между колесами и, следовательно, между отдельными концами контура всегда существует электрическое соединение. Осциллограф не показывает никакого напряжения, несмотря на то, что в остальном условия идентичны первому эксперименту.

В обоих экспериментах одновременно происходит одинаковое изменение магнитного потока. Однако осциллограф показывает напряжение только в одном эксперименте, хотя можно было бы ожидать, что одно и то же наведенное напряжение в обоих экспериментах будет присутствовать . Этот неожиданный результат получил название парадокса Геринга . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} назван в честь Карла Геринга .

Объяснение

Подвижные провода/осциллограф, магнит в покое

Самый простой способ понять результат эксперимента — это рассмотреть его со стороны покоя магнита, т. е. магнит покоится, а осциллограф и провода движутся. В этой системе отсчета нет причин для возникновения напряжения, поскольку установка состоит из покоящегося магнита и нескольких проводов, движущихся в свободном от поля пространстве вокруг магнита, которые немного царапают магнит.

В заключение следует отметить, что существует

*никакого изменения магнитного поля нигде(

\mathrm {rot} {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\vec {0}}

) и, следовательно, нет движущей силы тока

{\vec {F}}=q\cdot {\vec {E}}

по обвинениям

q

в цепи из-за индукции покоя,

* и те части цепи, имеющие заряды, находящиеся в движении (

v_{q}\neq 0

) не подвергаются воздействию магнитного поля (

B=0

) и наоборот, чтобы не было магнитной силы

{\vec {F}}_{q}=q\cdot {\vec {v}}_{q}\times {\vec {B}}

по обвинениям

q

в любом месте цепи.

Подвижный магнит, провода/осциллограф в состоянии покоя

Постоянный магнит перемещается в петлю проводника. Хотя в рассматриваемой области происходит изменение потока, вольтметр не показывает никакого отклонения.

Хотя перспектива из остальной системы отсчета магнита не вызывает затруднений для понимания, это не тот случай, если смотреть из системы отсчета, в которой осциллограф ^{[ 11 ]} тросы покоятся, а электропроводящий постоянный магнит перемещается в петлю проводника со скоростью $v$ . В этих условиях возникает индукция покоя из-за движения магнита ( ${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\neq 0$ на переднем крае магнита), и кроме того, магнит также является движущимся проводником. Двойная функция магнита как движущегося проводника, с одной стороны, и как первопричина магнитного поля, с другой, поднимает существенный вопрос: оказывает ли магнитное поле магнита силу Лоренца на заряды внутри магнита? магнит? Правильный ответ на этот вопрос: «Да, это так», и это одна из ловушек, связанных с применением закона Фарадея. Для некоторых людей нелогично предполагать, что к заряду приложена сила Лоренца, хотя относительного движения между магнитом и зарядом нет. ^{[ 12 ]}

Важным шагом к решению парадокса является осознание того, что внутренняя часть проводящего движущегося магнита не свободна от поля, но что напряженность электрического поля не равна нулю. ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ там преобладает. Если эту напряженность поля проинтегрировать по линии ${\overline {\mathrm {BC} }}$ Результатом является желаемое индуцированное напряжение . Однако наведенное напряжение локализовано не в осциллографе, а в магните.

Уравнение ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ можно вывести из соображений, что на каком-либо участке цепи явно не существует движущей силы тока. Поскольку отсутствие сил применимо, в частности, и к внутренней части магнита, общая электромагнитная сила для заряда $q$ находящееся внутри магнита, равно ${\vec {F}}_{q}=q\cdot ({\vec {E}}+{\vec {v}}_{q}\times {\vec {B}})={\vec {0}}$ . Если предположить, что заряд $q$ движется «без проскальзывания» вместе с магнитом ( ${\vec {v}}_{q}={\vec {v}}$ ), также применимо следующее: $q\cdot ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})={\vec {0}}$ . Однако последнее уравнение математически эквивалентно ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ .

Наконец, для различных участков проводниковой петли получаются следующие напряженности электрического поля:

Раздел ${\overline {\mathrm {AB} }}$ (дирижер)	Раздел ${\overline {\mathrm {BC} }}$ (магнит)	Раздел ${\overline {\mathrm {CD} }}$ (дирижер)	Раздел ${\overline {\mathrm {DA} }}$ (осциллограф)
$E=0$	${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}=v\cdot B\cdot {\vec {e}}_{y}$	$E=0$	$E=0$

Чтобы проверить, совместим ли результат опыта с уравнениями Максвелла, сначала запишем уравнение Максвелла Фарадея в интегральной записи:

\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=-\!\!\iint \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}

Здесь $A$ – индукционная поверхность, а $\partial A$ — его граничная кривая, которая предполагается состоящей из (стационарных) участков ${\overline {\mathrm {AB} }}$ , ${\overline {\mathrm {BC} }}$ , ${\overline {\mathrm {CD} }}$ и ${\overline {\mathrm {DA} }}$ , соответственно. Точка $\cdot$ указывает скалярное произведение между двумя векторами. Направление интегрирования (по часовой стрелке) и ориентация поверхности (направленная на экран) являются правыми по отношению друг к другу, как это предполагается в уравнении Максвелла Фарадея.

Учитывая напряженность электрического поля, показанную в таблице, левую часть уравнения Максвелла Фарадея можно записать как:

\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\underbrace {\int \limits _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}} _{=0}+\underbrace {\int \limits _{\mathrm {B} }^{\mathrm {C} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}} _{=-v\cdot B\cdot L}+\underbrace {\int \limits _{\mathrm {C} }^{\mathrm {D} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}} _{=0}+\underbrace {\int \limits _{\mathrm {D} }^{\mathrm {A} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}} _{=0}=-v\cdot B\cdot L

Знак минус обусловлен тем, что направление интегрирования противоположно направлению напряженности электрического поля ( $\angle (\mathrm {d} {\vec {s}},{\vec {E}})=180^{\circ }$ ).

Чтобы вычислить правую часть уравнения, заявим, что за время $\mathrm {d} t$ магнитное поле индукционной поверхности увеличивается от $0$ к $B$ ( $\partial B=B$ ) в пределах полосы длины $L$ и ширина $v\cdot \mathrm {d} t$ ( $\mathrm {d} A=L\cdot v\cdot \mathrm {d} t$ ). Таким образом, правая часть уравнения равна

-\iint \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=-{\frac {B}{\mathrm {d} t}}\cdot L\cdot v\cdot \mathrm {d} t=-v\cdot B\cdot L

Правая и левая части уравнения, очевидно, идентичны. Это показывает, что парадокс Геринга полностью согласуется с уравнением Максвелла Фарадея.

Обратите внимание, что скорость граничной кривой $\partial A$ не имеет никакого физического значения. Это легче всего увидеть в дифференциальной записи $\mathrm {rot} {\vec {E}}=-{\dot {\vec {B}}}$ уравнения Максвелла-Фарадея, где нет ни области индукции, ни ее границы. С математической точки зрения граничная кривая — это всего лишь воображаемая линия, которую нужно было ввести, чтобы преобразовать уравнение Максвелла-Фарадея в его интегральную запись, например, чтобы установить связь с электрическими напряжениями. Поскольку граничная кривая физически не имеет значения, результат эксперимента не зависит от скорости этой кривой и не зависит от того, соответствует ли скорость граничной кривой скорости проводника, находящегося в точке то же место. По соображениям простоты, ^{[ 13 ]} В этой статье скорость граничной кривой предполагается равной нулю. Движение, которое на самом деле имеет значение, — это движение (электропроводящего) магнита. Оно влияет на величину напряженности электрического поля внутри магнита и, таким образом, учитывается в уравнении Максвелла-Фарадея через численное значение векторного поля ${\vec {E}}$ .

Подводные камни

Трудности в понимании парадокса Геринга и подобных проблем обычно основаны на трех недоразумениях:

(1) отсутствие различия между скоростью граничной кривой и скоростью проводника, присутствующего в месте расположения граничной кривой,

(2) неопределенность относительно того, является ли термин

\partial A

в уравнении Максвелла-Фарадея — это просто воображаемая граничная линия или проводник (правильно:

\partial A

является граничной кривой без каких-либо физических свойств) и

(3) пренебрегая тем, что в идеальном проводнике, движущемся в магнитном поле с плотностью потока

{\vec {B}}

, существует ненулевая напряженность электрического поля

{\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}

.

Если последовательно учитывать эти моменты, парадокс Геринга окажется в полном согласии с законом индукции Фарадея (задаваемым уравнением Максвелла Фарадея), рассматриваемым в любой системе отсчета. Далее, трудности в понимании (мысленных) экспериментов, описанных в главе «Исключения из правила потока» в «Фейнмановских лекциях», обусловлены теми же недоразумениями.

Ссылки

^ К. Геринг, «Несовершенство обычного изложения фундаментального закона электромагнитной индукции», в Трудах Американского института инженеров-электриков, том. 27, нет. 3, стр. 339–349, март 1908 г., doi: 10.1109/PAIEE.1908.6742001.
^ Гюнтер Ленер: Теория электромагнитного поля для инженеров и физиков, 8-е издание, глава 6.2, Springer/Vieweg, ISBN 978-3-662-56642-8
^ Кирк Т. Макдональд: Парадокс потокосцепления Геринга, 8 октября 2019 г., Лаборатории Джозефа Генри, Принстонский университет, Принстон, Нью-Джерси
^ А. Лозес-Рамос и др.: Условия справедливости закона индукции Фарадея и их экспериментальное подтверждение, Европейский журнал физики, 29 (2008), стр. 1069-1076, doi:10.1088/0143-0807/29/5/018
^ Г.И. Кон, «Электромагнитная индукция», в журнале «Электротехника», том. 68, нет. 5, стр. 441–447, май 1949 г., doi: 10.1109/EE.1949.6444777.
^ Хартмут Грабински (1997), «Эксперимент Геринга: мифы и факты» , Electrical Engineering , 80 (5), Springer: 285–290, doi : 10.1007/BF01370965 , получено 2 июля 2024 г.
^ Учеб. На. ДЖЕФ, март 1908 г., стр. 339.
^ Эл. Мир. № 11, 14 марта 1908 г., с.558.
^ Электрик. 3. Апрель 1908 г., С. 946.
^ Хартмут Грабински (1997), «Эксперимент Геринга: мифы и факты» , Electrical Engineering , 80 (5), Springer: 285–290, doi : 10.1007/BF01370965 , получено 2 июля 2024 г.
^ У нас на видео нет именно такой ситуации, потому что осциллограф не имеет такой скорости, как провода. Однако скорость осциллографа и проводов здесь не имеет значения, поскольку нет ${\vec {B}}$ -поле в его Таким образом, ${\vec {E}}$ -поле одинаково во всех системах отсчета. Это можно получить из преобразования Лоренца. ${\vec {E}}'=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}}{v^{2}}}{\vec {v}}$ установив $B=0$
^ Обратите внимание, что в теории электродинамики нет фундаментального уравнения, которое использовало бы относительную скорость одного тела по отношению к другому. Уравнения Максвелла в дифференциальных обозначениях вообще не содержат скоростей, а скорость ${\vec {v}}_{q}$ в электромагнитной силе на заряд ${\vec {F}}=q\cdot ({\vec {E}}+{\vec {v}}_{q}\times {\vec {B}})$ это (абсолютная) скорость заряда $q$ в выбранной системе координат. Итак, если в месте нахождения заряда есть магнитное поле, и заряд находится в движении, то существует и сила Лоренца, откуда бы ни исходило магнитное поле. Заметим, что в этой теории также нет такого понятия, как «скорость магнитного поля».
^ Если учитывать скорость граничной кривой, ее необходимо учитывать с обеих сторон уравнения Максвелла-Фарадея. Благодаря ${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{\mathcal {A}}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}=\int \limits _{\mathcal {A}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}+\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}({\vec {B}}\times {\vec {u}})\cdot {\text{d}}{\vec {s}}+\int \limits _{\mathcal {A}}(\nabla \cdot {\vec {B}})\cdot {\vec {u}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$ ( Харли Фландерс : Дифференцирование под знаком интеграла. В: American Mathematical Monthly. 80 (6), июнь – июль 1973, с. 615–627) и уравнение Максвелла. $\nabla \cdot {\vec {B}}=0$ уравнение Максвелла-Фарадея преобразуется в $\,\,\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}(t)}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}(t))\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}(t)\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$ , где ${\vec {u}}$ - скорость воображаемой граничной кривой и ${\vec {u}}\times {\vec {B}}$ таким образом, это не сила Лоренца. Использовать это уравнение не проще, чем стандартную форму уравнения Максвелла-Фарадея в интегральной записи.

[1] К. Геринг, «Несовершенство обычного изложения фундаментального закона электромагнитной индукции», в Трудах Американского института инженеров-электриков, том. 27, нет. 3, стр. 339–349, март 1908 г., doi: 10.1109/PAIEE.1908.6742001.

[2] Гюнтер Ленер: Теория электромагнитного поля для инженеров и физиков, 8-е издание, глава 6.2, Springer/Vieweg, ISBN 978-3-662-56642-8

[3] Кирк Т. Макдональд: Парадокс потокосцепления Геринга, 8 октября 2019 г., Лаборатории Джозефа Генри, Принстонский университет, Принстон, Нью-Джерси

[4] А. Лозес-Рамос и др.: Условия справедливости закона индукции Фарадея и их экспериментальное подтверждение, Европейский журнал физики, 29 (2008), стр. 1069-1076, doi:10.1088/0143-0807/29/5/018

[5] Г.И. Кон, «Электромагнитная индукция», в журнале «Электротехника», том. 68, нет. 5, стр. 441–447, май 1949 г., doi: 10.1109/EE.1949.6444777.

[6] Хартмут Грабински (1997), «Эксперимент Геринга: мифы и факты» , Electrical Engineering , 80 (5), Springer: 285–290, doi : 10.1007/BF01370965 , получено 2 июля 2024 г.

[7] Учеб. На. ДЖЕФ, март 1908 г., стр. 339.

[8] Эл. Мир. № 11, 14 марта 1908 г., с.558.

[9] Электрик. 3. Апрель 1908 г., С. 946.

[10] Хартмут Грабински (1997), «Эксперимент Геринга: мифы и факты» , Electrical Engineering , 80 (5), Springer: 285–290, doi : 10.1007/BF01370965 , получено 2 июля 2024 г.

[11] У нас на видео нет именно такой ситуации, потому что осциллограф не имеет такой скорости, как провода. Однако скорость осциллографа и проводов здесь не имеет значения, поскольку нет ${\vec {B}}$ -поле в его Таким образом, ${\vec {E}}$ -поле одинаково во всех системах отсчета. Это можно получить из преобразования Лоренца. ${\vec {E}}'=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}}{v^{2}}}{\vec {v}}$ установив $B=0$

[12] Обратите внимание, что в теории электродинамики нет фундаментального уравнения, которое использовало бы относительную скорость одного тела по отношению к другому. Уравнения Максвелла в дифференциальных обозначениях вообще не содержат скоростей, а скорость ${\vec {v}}_{q}$ в электромагнитной силе на заряд ${\vec {F}}=q\cdot ({\vec {E}}+{\vec {v}}_{q}\times {\vec {B}})$ это (абсолютная) скорость заряда $q$ в выбранной системе координат. Итак, если в месте нахождения заряда есть магнитное поле, и заряд находится в движении, то существует и сила Лоренца, откуда бы ни исходило магнитное поле. Заметим, что в этой теории также нет такого понятия, как «скорость магнитного поля».

[13] Если учитывать скорость граничной кривой, ее необходимо учитывать с обеих сторон уравнения Максвелла-Фарадея. Благодаря ${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{\mathcal {A}}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}=\int \limits _{\mathcal {A}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}+\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}({\vec {B}}\times {\vec {u}})\cdot {\text{d}}{\vec {s}}+\int \limits _{\mathcal {A}}(\nabla \cdot {\vec {B}})\cdot {\vec {u}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$ ( Харли Фландерс : Дифференцирование под знаком интеграла. В: American Mathematical Monthly. 80 (6), июнь – июль 1973, с. 615–627) и уравнение Максвелла. $\nabla \cdot {\vec {B}}=0$ уравнение Максвелла-Фарадея преобразуется в $\,\,\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}(t)}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}(t))\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}(t)\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$ , где ${\vec {u}}$ - скорость воображаемой граничной кривой и ${\vec {u}}\times {\vec {B}}$ таким образом, это не сила Лоренца. Использовать это уравнение не проще, чем стандартную форму уравнения Максвелла-Фарадея в интегральной записи.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]