Внутреннее произведение Боголюбова

Внутреннее произведение Боголюбова (также известное как двухточечная функция Дюамеля , внутреннее произведение Боголюбова , скалярное произведение Боголюбова или внутреннее произведение Кубо – Мори – Боголюбова ) — это специальный внутренний продукт в пространстве операторов . Внутренний продукт Боголюбова появляется в квантовой статистической механике. и назван в честь физика-теоретика Николая Боголюбова .

Определение

Позволять $A$ быть самосопряженным оператором . Скалярное произведение Боголюбова любых двух операторов X и Y определяется как

$\langle X,Y\rangle _{A}=\int \limits _{0}^{1}{\rm {Tr}}[{\rm {e}}^{xA}X^{\dagger }{\rm {e}}^{(1-x)A}Y]dx$

Внутренний продукт Боголюбова удовлетворяет всем аксиомам внутреннего продукта: он полуторалинейный , положительно полуопределенный (т. е. $\langle X,X\rangle _{A}\geq 0$) и удовлетворяет свойству симметрии $\langle X,Y\rangle _{A}=(\langle Y,X\rangle _{A})^{*}$ где $\alpha ^{*}$ представляет собой комплексное сопряжение $\alpha$.

В приложениях к квантовой статистической механике оператор $A$ имеет форму $A=\beta H$, где $H$ — гамильтониан квантовой системы и $\beta$ – обратная температура . В этих обозначениях скалярное произведение Боголюбова принимает вид

$\langle X,Y\rangle _{\beta H}=\int \limits _{0}^{1}\langle {\rm {e}}^{x\beta H}X^{\dagger }{\rm {e}}^{-x\beta H}Y\rangle dx$

где $\langle \dots \rangle$ обозначает термическое среднее по гамильтониану $H$ и обратная температура $\beta$.

В квантовой статистической механике внутренний продукт Боголюбова появляется как член второго порядка в разложении статистической суммы:

$\langle X,Y\rangle _{\beta H}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t\partial s}}{\rm {Tr}}\,{\rm {e}}^{\beta H+tX+sY}{\bigg \vert }_{t=s=0}$