Условная зависимость

В вероятностей теории условная зависимость — это связь между двумя или более событиями , которые зависят от возникновения третьего события. ^[1]^[2] Например, если $A$ и $B$ два события, которые по отдельности увеличивают вероятность третьего события $C,$ и не влияют непосредственно друг на друга, то первоначально (когда еще не наблюдалось, произошло ли событие $C$ происходит) ^[3]^[4] $\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)$ ( $A{\text{ and }}B$ независимы).

Но предположим, что сейчас $C$ наблюдается возникновение. Если событие $B$ происходит, то вероятность появления события $A$ уменьшится, поскольку его положительное отношение к $C$ менее необходима в качестве объяснения возникновения $C$ (аналогично, событие $A$ возникновение уменьшит вероятность возникновения $B$ ). Следовательно, теперь два события $A$ и $B$ условно отрицательно зависят друг от друга, поскольку вероятность появления каждого отрицательно зависит от того, произойдет ли другое. У нас есть ^[5] $\operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)<\operatorname {P} (A\mid C).$

Условная зависимость A и B при условии C является логическим отрицанием условной независимости. $((A\perp \!\!\!\perp B)\mid C)$ . ^[6] При условной независимости два события (которые могут быть зависимыми или нет) становятся независимыми при возникновении третьего события. ^[7]

Пример

По сути, на вероятность влияет информация человека о возможном наступлении события. Например, пусть событие $A$ быть «У меня новый телефон»; событие $B$ быть «У меня новые часы»; и событие $C$ быть «Я счастлив»; и предположим, что наличие нового телефона или новых часов увеличивает вероятность того, что я буду счастлив. Предположим, что событие $C$ произошло – что означает «Я счастлив». Теперь, если другой человек увидит мои новые часы, он/она решит, что мои новые часы увеличили мою вероятность быть счастливым, поэтому нет необходимости приписывать мое счастье новому телефону.

Чтобы сделать пример более конкретным, предположим, что существует четыре возможных состояния. $\Omega =\left\{s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\right\},$ приведены в средних четырех столбцах следующей таблицы, в которой возникновение события $A$ обозначается $1$ в ряд $A$ и его ненаступление обозначается $0,$ и аналогично для $B$ и $C.$ То есть, $A=\left\{s_{2},s_{4}\right\},B=\left\{s_{3},s_{4}\right\},$ и $C=\left\{s_{2},s_{3},s_{4}\right\}.$ Вероятность $s_{i}$ является $1/4$ для каждого $i.$

Событие	$\operatorname {P} (s_{2})=1/4$	$\operatorname {P} (s_{3})=1/4$	$\operatorname {P} (s_{4})=1/4$	Вероятность события
$A$	1	0	1	${\tfrac {1}{2}}$
$B$	0	1	1	${\tfrac {1}{2}}$
$C$	1	1	1	${\tfrac {3}{4}}$

и так

Событие	$s_{2}$	$s_{3}$	$s_{4}$	Вероятность события
$A\cap B$	0	0	1	${\tfrac {1}{4}}$
$A\cap C$	1	0	1	${\tfrac {1}{2}}$
$B\cap C$	0	1	1	${\tfrac {1}{2}}$
$A\cap B\cap C$	0	0	1	${\tfrac {1}{4}}$

В этом примере $C$ происходит тогда и только тогда, когда хотя бы одно из $A,B$ происходит. Безоговорочно (то есть без ссылки на $C$ ), $A$ и $B$ независимы друг от друга, поскольку $\operatorname {P} (A)$ – сумма вероятностей, связанных с $1$ в ряд $A$ -является ${\tfrac {1}{2}},$ пока $\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}=\operatorname {P} (A).$ Но при условии $C$ произошедшее (последние три столбца таблицы), мы имеем $\operatorname {P} (A\mid C)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C)/\operatorname {P} (C)={\tfrac {1/2}{3/4}}={\tfrac {2}{3}}$ пока $\operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (C{\text{ and }}B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}<\operatorname {P} (A\mid C).$ Поскольку в присутствии $C$ вероятность $A$ зависит от наличия или отсутствия $B,A$ и $B$ взаимозависимы при условии $C.$

См. также

Условная независимость - концепция теории вероятностей
Теорема де Финетти - Условная независимость взаимозаменяемых наблюдений
Условное ожидание - ожидаемое значение случайной величины при условии, что известно, что происходят определенные условия.

Ссылки

^ Введение в искусственный интеллект Себастьяна Труна и Питера Норвига, 2011 «Блок 3: Условная зависимость» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Введение в изучение байесовских сетей на основе данных Дирка Хусмайера [1] ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} «Введение в изучение байесовских сетей на основе данных – Дирк Хусмейер»
^ Условная независимость в статистической теории «Условная независимость в статистической теории», А. П. Давид. Архивировано 27 декабря 2013 г. в Wayback Machine.
^ Вероятностная независимость от Британники «Вероятность->Применение условной вероятности->независимость (уравнение 7)»
^ Введение в искусственный интеллект Себастьяна Труна и Питера Норвига, 2011 «Блок 3: Объяснение» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Букерт, Ремко Р. (1994). «11. Условная зависимость в вероятностных сетях». В Чизмэне, П.; Олдфорд, RW (ред.). Выбор моделей на основе данных, искусственного интеллекта и статистики IV . Конспект лекций по статистике. Том. 89. Шпрингер-Верлаг . стр. 101–111, особенно 104. ISBN. 978-0-387-94281-0 .
^ Условная независимость в статистической теории «Условная независимость в статистической теории», А. П. Давид. Архивировано 27 декабря 2013 г. в Wayback Machine.

[AI-class-1] Введение в искусственный интеллект Себастьяна Труна и Питера Норвига, 2011 «Блок 3: Условная зависимость» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[2] Введение в изучение байесовских сетей на основе данных Дирка Хусмайера [1] ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} «Введение в изучение байесовских сетей на основе данных – Дирк Хусмейер»

[3] Условная независимость в статистической теории «Условная независимость в статистической теории», А. П. Давид. Архивировано 27 декабря 2013 г. в Wayback Machine.

[4] Вероятностная независимость от Британники «Вероятность->Применение условной вероятности->независимость (уравнение 7)»

[5] Введение в искусственный интеллект Себастьяна Труна и Питера Норвига, 2011 «Блок 3: Объяснение» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[6] Букерт, Ремко Р. (1994). «11. Условная зависимость в вероятностных сетях». В Чизмэне, П.; Олдфорд, RW (ред.). Выбор моделей на основе данных, искусственного интеллекта и статистики IV . Конспект лекций по статистике. Том. 89. Шпрингер-Верлаг . стр. 101–111, особенно 104. ISBN. 978-0-387-94281-0 .

[7] Условная независимость в статистической теории «Условная независимость в статистической теории», А. П. Давид. Архивировано 27 декабря 2013 г. в Wayback Machine.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]