Теорема Дроза-Фарни о прямой

Линия через $A_{0},B_{0},C_{0}$ линия Дроз-Фарный

В евклидовой геометрии теорема Дроза -Фарни о прямой — это свойство двух перпендикулярных прямых, проходящих через ортоцентр произвольного треугольника.

Позволять $T$ быть треугольником с вершинами $A$, $B$, и $C$, и пусть $H$ быть его ортоцентром (общей точкой трех его линий высот . Пусть $L_{1}$ и $L_{2}$ любые две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через $H$. Позволять $A_{1}$, $B_{1}$, и $C_{1}$ быть точками, где $L_{1}$ пересекает боковые линии $BC$, $CA$, и $AB$, соответственно. Аналогично, пусть $A_{2}$, $B_{2}$, и $C_{2}$ быть точками, где $L_{2}$ пересекает эти боковые линии. Теорема Дроза-Фарни о прямой гласит, что середины трех отрезков $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$, и $C_{1}C_{2}$ коллинеарны ​ .

Теорема была сформулирована Арнольдом Дроз-Фарни в 1899 году. но не ясно, были ли у него доказательства.

Обобщение Гурматайга

Обобщение теоремы Дро-Фарни о прямой было доказано в 1930 году Рене Гурмаги .

Как и выше, пусть $T$ быть треугольником с вершинами $A$, $B$, и $C$. Позволять $P$ быть любой точкой, отличной от $A$, $B$, и $C$, и $L$ быть через любую черту $P$. Позволять $A_{1}$, $B_{1}$, и $C_{1}$ быть точками на боковых линиях $BC$, $CA$, и $AB$соответственно, такие, что линии $PA_{1}$, $PB_{1}$, и $PC_{1}$ это изображения линий $PA$, $PB$, и $PC$, соответственно, отражением от линии $L$. Теорема Гурматайга утверждает, что точки $A_{1}$, $B_{1}$, и $C_{1}$ коллинеарны.

Теорема Дроза-Фарни о прямой является частным случаем этого результата, когда $P$ является ортоцентром треугольника $T$.

Обобщение Дао

Теорема была дополнительно обобщена Дао Тхань Оаем . Обобщение следующее:

Первое обобщение: пусть ABC — треугольник, P — точка на плоскости, пусть три параллельных отрезка AA', BB', CC' такие, что их середины и точка P лежат на одной прямой. Затем PA', PB', PC' пересекаются с BC, CA, AB соответственно в трех точках, лежащих на одной прямой.

Второе обобщение Дао

Второе обобщение: пусть коника S и точка P на плоскости . Постройте три прямые d _a , d _b , d _c через P так, чтобы они пересекались с коникой в ​​точках A, A'; Б, Б'; С, С' соответственно. Пусть D — точка на поляре точки P относительно (S) или D лежит на конике (S). Пусть DA' ∩ BC =A ₀ ; ДБ' ∩ АС знак равно В ₀ ; DC' ∩ AB= C ₀ . Тогда A0 _, B0 _, C0 _лежат на одной прямой.