Уравнение перехода состояний

Уравнение перехода состояний определяется как решение линейного однородного уравнения состояния. Линейное нестационарное уравнение состояния, определяемое формулой

{\frac {dx(t)}{dt}}=Ax(t)+Bu(t)+Ew(t),

с вектором состояния x , вектором управления u , вектором w аддитивных возмущений и фиксированными матрицами A , B и E , можно решить, используя либо классический метод решения линейных дифференциальных уравнений , либо метод преобразования Лапласа . Решение преобразования Лапласа представлено в следующих уравнениях.Преобразование Лапласа приведенного выше уравнения дает

sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)+EW(s)

где x(0) обозначает вектор начального состояния, оцененный при $t=0$ . Решение для $X(s)$ дает

X(s)=(sI-A)^{-1}x(0)+(sI-A)^{-1}[BU(s)+EW(s)].

Таким образом, уравнение перехода состояний можно получить, приняв обратное преобразование Лапласа как

x(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0)+L^{-1}{(sI-A)^{-1}[BU(s)+EW(s)]}=\phi (t)x(0)+\int _{0}^{t}\phi (t-\tau )[Bu(\tau )+Ew(\tau )]dt.

Уравнение перехода состояний, полученное выше, полезно только тогда, когда начальное время определено как равное $t=0$ . При исследовании систем управления , особенно систем управления с дискретными данными, часто желательно разбить процесс перехода состояний на последовательность переходов, поэтому необходимо выбрать более гибкое начальное время. Пусть начальное время будет представлено как $t_{0}$ и соответствующее начальное состояние по $x(t_{0})$ и предположим, что входные данные $u(t)$ и беспокойство $w(t)$ применяются при t≥0. Начиная с приведенного выше уравнения, установив $t=t_{0},$ и решение для $x(0)$ , мы получаем