Аксиома независимости
Аксиома , P является независимой если не существует других аксиом Q таких, что из Q следует P.
Во многих случаях независимость желательна либо для того, чтобы прийти к выводу о сокращенном наборе аксиом, либо для того, чтобы иметь возможность заменить независимую аксиому для создания более краткой системы (например, постулат о параллельности не зависит от других аксиом евклидовой геометрии , и дает интересные результаты при отрицании или замене).
Доказательство независимости
[ редактировать ]Если исходные аксиомы Q несогласованы , то ни одна новая аксиома не является независимой. Если они непротиворечивы, то P можно показать независимо от них, если добавление к ним P или добавление отрицания P оба дают непротиворечивые наборы аксиом. [1] Например, аксиомы Евклида, включая постулат параллельности, дают евклидову геометрию, а при отрицании постулата параллельности - неевклидову геометрию . Например, эллиптическая геометрия (нет параллелей) и гиперболическая геометрия (много параллелей). И эллиптическая, и гиперболическая геометрия являются непротиворечивыми системами, показывающими, что постулат параллельности не зависит от других аксиом. [2]
Доказать независимость зачастую очень сложно. Принуждение – один из широко используемых методов. [3]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Кеннет Кунен, Теория множеств: введение в доказательства независимости , страница xi.
- ^ Гарольд Скотт Макдональд Коксетер Неевклидова геометрия , страницы 1-15
- ^ Кеннет Кунен, Теория множеств: введение в доказательства независимости , страницы 184-237