Функции Бикли – Нейлора

В физике, технике и прикладной математике функции Бикли–Нейлора представляют собой последовательность специальных функций, возникающих в формулах для интенсивностей теплового излучения в горячих камерах. Решения часто бывают довольно сложными, если только проблема не является по сути одномерной. (например, поле излучения в тонком слое газа между двумя параллельными прямоугольными пластинами). Эти функции имеют практическое применение в ряде инженерных задач, связанных с транспортировкой тепловых потоков. или нейтрон, излучение в системах со специальной симметрией (например, сферической или осевой симметрией). У.Г. Бикли — британский математик, родившийся в 1893 году.

Определение

n - я функция Бикли-Нейлора $\operatorname {Ki} _{n}(x)$ определяется

$\operatorname {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\pi /2}e^{-x/\cos \theta }\cos ^{n-1}\theta \,d\theta .$

и ее классифицируют как одну из обобщенных экспоненциальных интегральных функций.

Все функции $\operatorname {Ki} _{n}(x)$ для натурального числа n являются монотонно убывающими функциями, поскольку $e^{-x}$ является убывающей функцией и $\sin x$ является положительной возрастающей функцией для $x\in (0,\pi /2)$.

Характеристики

Интеграл, определяющий функцию $\operatorname {Ki} _{n}(x)$ как правило, не может быть оценено аналитически, но может быть аппроксимировано с желаемой точностью с помощью сумм Римана или других методов, принимая предел a → 0 в интервале интегрирования [ a , π /2].

Альтернативные способы определения функции $\operatorname {Ki} _{n}(x)$ включить интеграл, Интеграл образует функцию Бикли-Нейлора :

$\operatorname {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\pi /2}e^{-x/\cos \theta }\cos ^{n-1}\theta \,d\theta .$

$\operatorname {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x\cosh t}}{\cosh ^{n}t}}\,dt.$

$\operatorname {Ki} _{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}dt}{t^{n}{\sqrt {t^{2}-1}}}}$

$\operatorname {Ki} _{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{x}^{\infty }(t-x)^{n-1}K_{0}(t)dt.$

${\frac {\operatorname {Ki} _{n}(x)}{x^{n}}}={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{1}^{\infty }(t-1)^{n-1}K_{0}(xt)dt.$

где $\operatorname {K} _{0}(x)$ – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Также по определению мы имеем $\operatorname {Ki} _{0}(x)=\operatorname {K} _{0}(x)$.

Расширения серии

Разложение в ряд функций Бикли первого и второго порядка имеет вид:

$\operatorname {Ki} _{1}(x)={\frac {\pi }{2}}+x\left(\gamma +\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{(k!)^{2}(2k+1)}}-x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{(k!)^{2}(2k+1)^{2}}}-x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}\Phi (k+1)}{(k!)^{2}(2k+1)}}$

$\operatorname {Ki} _{2}(x)=1-{\frac {\pi }{2}}x-{\frac {x^{2}}{2}}\left(\gamma +\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{k!(k+1)!(2k+1)}}+{\frac {x^{2}}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+3)(x^{2}/4)^{k}}{k!(k+1)!(2k+1)^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}\Phi (k+1)}{k!(k+1)!(2k+1)}}$

где γ — постоянная Эйлера и

$\Phi (k+1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k}}$

Рекуррентное отношение

Функции Бикли также удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:

$n\operatorname {Ki} _{n+1}(x)=(n-1)\operatorname {Ki} _{n-1}(x)-x\operatorname {Ki} _{n}(x)+x\operatorname {Ki} _{n-2}(x),~~~~~n\geq 2$

где $\operatorname {Ki} _{0}(x)=\operatorname {K} _{0}(x)$.

Асимптотические разложения

Асимптотические разложения функций Бикли имеют вид

$\operatorname {Ki} _{n}(x)\approx {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-x}\left\{1-{\frac {(1+4n)}{8x}}+{\frac {3(3+24n+16n^{2})}{128x^{2}}}\right\}$

для $x\gg 1$

Последовательная дифференциация

Дифференциация $Ki_{n+1}(x)$ относительно x дает

${\frac {d}{dx}}\operatorname {Ki} _{n+1}(x)=-\operatorname {Ki} _{n}(x)$

Последовательное дифференцирование дает

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\operatorname {Ki} _{n}(x)=(-1)^{n}\operatorname {K} _{0}(x)$

Значения этих функций для разных значений аргумента x часто приводились в таблицах специальных функций в эпоху, когда численное вычисление интегралов было медленным. таблица, в которой приведены некоторые приблизительные значения трех первых функций Ki _n Ниже приведена .

$x$	$\operatorname {Ki} _{1}(x)$	$\operatorname {Ki} _{2}(x)$	$\operatorname {Ki} _{3}(x)$
0	1.570796327	1.000000000	0.785398162
0.1	1.22863188	0.862521290	0.692543328
0.2	1.023679877	0.750458533	0.612064472
0.3	0.868832269	0.656147929	0.541862953
0.4	0.745203394	0.575660412	0.480375442
0.5	0.643693806	0.506373657	0.426358257
0.6	0.558890473	0.446366680	0.378791860
0.7	0.487198347	0.394159632	0.336825253
0.8	0.426061805	0.348575863	0.299739399
0.9	0.373578804	0.308659297	0.266921357
1.0	0.328286478	0.273620752	0.237845082
1.2	0.254888907	0.21564418	0.189162878
1.4	0.199050709	0.17049927	0.150734408
1.6	0.156156459	0.135163924	0.120310892
1.8	0.122960838	0.107392071	0.096165816
2.0	0.097120592	0.085490579	0.076963590
2.5	0.054422478	0.048670845	0.044307124
3.0	0.030848237	0.027924583	0.025646500
3.5	0.017634408	0.016117448	0.014909740
4.0	0.010146756	0.009346971	0.008698789
4.5	0.005868829	0.005441695	0.005090280
5.0	0.003408936	0.003178387	0.002986247
6.0	0.001161774	0.001092877	0.001034238
7.0	0.000400052	0.000378912	0.000360620
8.0	0.000138841	0.000132222	0.000126417
9.0	0.000048484	0.000046377	0.000044509
10	0.000017015	0.000016336	0.000015728

Компьютерный код

Компьютерный код на Фортране предоставлен Amos.

См. также

• Экспоненциальный интеграл