Монотонная матрица

Настоящая квадратная матрица $A$ монотонно ) , (в смысле Коллатца если для всех вещественных векторов $v$ , $Av\geq 0$ подразумевает $v\geq 0$ , где $\geq$ - это поэлементный порядок на $\mathbb {R} ^{n}$ . ^{[ 1 ]}

Характеристики

Монотонная матрица невырождена. ^{[ 1 ]}

Доказательство : Пусть $A$ быть монотонной матрицей и предположим, что существует $x\neq 0$ с $Ax=0$ . Тогда в силу монотонности $x\geq 0$ и $-x\geq 0$ , и, следовательно, $x=0$ . $\square$

Позволять $A$ быть действительной квадратной матрицей. $A$ монотонно тогда и только тогда, когда $A^{-1}\geq 0$ . ^{[ 1 ]}

Доказательство : предположим $A$ является монотонным. Обозначим через $x$ тот $i$ -й столбец $A^{-1}$ . Затем, $Ax$ это $i$ -й стандартный базисный вектор и, следовательно, $x\geq 0$ по монотонности. Для обратного направления предположим $A$ допускает обратное такое, что $A^{-1}\geq 0$ . Тогда, если $Ax\geq 0$ , $x=A^{-1}Ax\geq A^{-1}0=0$ , и, следовательно, $A$ является монотонным. $\square$

Примеры

Матрица $\left({\begin{smallmatrix}1&-2\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ монотонно, с обратным $\left({\begin{smallmatrix}1&2\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ . Фактически эта матрица является М-матрицей (т. е. монотонной L-матрицей ).

Однако заметим, что не все монотонные матрицы являются M-матрицами. Примером является $\left({\begin{smallmatrix}-1&3\\2&-4\end{smallmatrix}}\right)$ , обратным для которого является $\left({\begin{smallmatrix}2&3/2\\1&1/2\end{smallmatrix}}\right)$ .

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Мангасарян, OL (1968). «Характеризации вещественных матриц монотонного вида» (PDF) . Обзор СИАМ . 10 (4): 439–441. дои : 10.1137/1010095 . ISSN 0036-1445 .

[Mangasarian1968-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Мангасарян, OL (1968). «Характеризации вещественных матриц монотонного вида» (PDF) . Обзор СИАМ . 10 (4): 439–441. дои : 10.1137/1010095 . ISSN 0036-1445 .

[ 1 ]