Сечение передачи импульса

В физике , и особенно в теории рассеяния , сечение передачи импульса (иногда называемое импульса) переноса сечением ) — эффективное рассеяния, сечение полезное для описания среднего импульса, передаваемого частицей при ее столкновении с мишенью. По сути, он содержит всю информацию о процессе рассеяния, необходимую для расчета среднего переданного импульса, но игнорирует другие детали, касающиеся угла рассеяния.

Сечение передачи импульса $\sigma _{\mathrm {tr} }$ определяется через (азимутально-симметричное и независимое от импульса) дифференциальное сечение ${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )$ к $${\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {tr} }&=\int (1-\cos \theta ){\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\,\mathrm {d} \Omega \\&=\iint (1-\cos \theta ){\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .\end{aligned}}$$

Сечение передачи импульса можно записать через фазовые сдвиги из парциального волнового анализа как $$\sigma _{\mathrm {tr} }={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sum _{l=0}^{\infty }(l+1)\sin ^{2}[\delta _{l+1}(k)-\delta _{l}(k)].$$

Объяснение

Фактор $1-\cos \theta$ возникает следующим образом. Пусть налетающая частица движется вдоль $z$-ось с векторным импульсом $${\vec {p}}_{\mathrm {in} }=q{\hat {z}}.$$

Предположим, что частица рассеивается от мишени под полярным углом $\theta$ и азимутальный угол $\phi$ самолет. Его новый импульс $${\vec {p}}_{\mathrm {out} }=q'\cos \theta {\hat {z}}+q'\sin \theta \cos \phi {\hat {x}}+q'\sin \theta \sin \phi {\hat {y}}.$$

При столкновении с гораздо более тяжелой целью, чем ударяющая частица (например, электрон, падающий на атом или ион), $q'\backsimeq q$ так $${\vec {p}}_{\mathrm {out} }\simeq q\cos \theta {\hat {z}}+q\sin \theta \cos \phi {\hat {x}}+q\sin \theta \sin \phi {\hat {y}}$$

За счет сохранения импульса цель приобрела импульс. $$\Delta {\vec {p}}={\vec {p}}_{\mathrm {in} }-{\vec {p}}_{\mathrm {out} }=q(1-\cos \theta ){\hat {z}}-q\sin \theta \cos \phi {\hat {x}}-q\sin \theta \sin \phi {\hat {y}}.$$

Теперь, если от мишени разлетается много частиц и предполагается, что мишень имеет азимутальную симметрию, то радиальная ( $x$ и $y$) компоненты переданного импульса в среднем будут равны нулю. Средняя передача импульса будет равна $q(1-\cos \theta ){\hat {z}}$. Если мы проведем полное усреднение по всем возможным событиям рассеяния, получим $${\begin{aligned}\Delta {\vec {p}}_{\mathrm {avg} }&=\langle \Delta {\vec {p}}\rangle _{\Omega }\\&=\sigma _{\mathrm {tot} }^{-1}\int \Delta {\vec {p}}(\theta ,\phi ){\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\,\mathrm {d} \Omega \\&=\sigma _{\mathrm {tot} }^{-1}\int \left[q(1-\cos \theta ){\hat {z}}-q\sin \theta \cos \phi {\hat {x}}-q\sin \theta \sin \phi {\hat {y}}\right]{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\,\mathrm {d} \Omega \\&=q{\hat {z}}\sigma _{\mathrm {tot} }^{-1}\int (1-\cos \theta ){\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\,\mathrm {d} \Omega \\[1ex]&=q{\hat {z}}\sigma _{\mathrm {tr} }/\sigma _{\mathrm {tot} }\end{aligned}}$$где полное сечение $$\sigma _{\mathrm {tot} }=\int {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\mathrm {d} \Omega .$$

Здесь усреднение выполняется с использованием расчета ожидаемого значения (см. ${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )/\sigma _{\mathrm {tot} }$ как функция плотности вероятности). Следовательно, для данного полного сечения нет необходимости вычислять новые интегралы для каждого возможного импульса, чтобы определить средний импульс, переданный цели. Нужно просто вычислить $\sigma _{\mathrm {tr} }$.

Приложение

Эта концепция используется при расчете зарядового радиуса ядер, таких как протон и дейтрон, в экспериментах по рассеянию электронов .

С этой целью полезная величина, называемая вектором рассеяния q, имеющая размерность обратной длины, определяется как функция энергии E и угла рассеяния θ : $$q={\frac {{\frac {2E}{\hbar c}}\sin(\theta /2)}{\left[1+{\frac {2E}{Mc^{2}}}\sin ^{2}(\theta /2)\right]^{1/2}}}$$