Модель Нильссона

Модель Нильссона представляет собой модель ядерной оболочки, рассматривающую атомное ядро ​​как деформированную сферу. В 1953 году были обнаружены первые экспериментальные примеры вращательных полос в ядрах, энергетические уровни которых соответствуют той же схеме энергий J (J + 1), что и во вращающихся молекулах. С квантовой механики коллективное вращение сферы невозможно, поэтому это означало, что форма этих ядер была несферической. В принципе, эти вращательные состояния можно было бы описать как когерентные суперпозиции частично-дырочных возбуждений в базисе, состоящем из одночастичных состояний сферического потенциала. Но на самом деле описание этих состояний таким образом сложно из-за большого количества валентных частиц — и эта трудность была еще большей в 1950-х годах, когда вычислительная мощность была крайне рудиментарной. По этим причинам Оге Бор , Бен Моттельсон и Свен Гёста Нильссон построили модели, в которых потенциал был деформирован в эллипсоидную форму. Первой успешной моделью этого типа стала модель Нильссона. По сути, это модель ядерной оболочки, использующая потенциал гармонического осциллятора, но с добавленной анизотропией, так что частоты осцилляторов вдоль трех декартовых осей не все одинаковы. Обычно форма представляет собой вытянутый эллипсоид с осью симметрии z.

гамильтониан

Для осесимметричной формы с осью симметрии, являющейся осью z, гамильтониан равен

$H={\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\perp }^{2}(x^{2}+y^{2})-c_{1}\ell \cdot s-c_{2}(\ell ^{2}-\langle \ell ^{2}\rangle _{N}).$

Здесь m — масса нуклона, N — общее число квантов гармонического осциллятора в сферическом базисе, $\ell$ — оператор орбитального углового момента, $\ell ^{2}$ – его квадрат (с собственными значениями $\ell (\ell +1)$), $\langle \ell ^{2}\rangle _{N}=(1/2)N(N+3)$ это среднее значение $\ell ^{2}$ над N-оболочкой, а s — собственный спин.

Анизотропия потенциала такова, что длина эквипотенциала вдоль z больше длины по поперечным осям в соотношении $\omega _{\perp }/\omega _{z}$. Обычно это выражается через параметр деформации δ, так что гармоническая осцилляторная часть потенциала может быть записана как сумма сферически-симметричного гармонического осциллятора и члена, пропорционального δ. Положительные значения δ указывают на вытянутые деформации, как в американском футболе. Большинство ядер в основных состояниях имеют равновесную форму, такую, что δ находится в диапазоне от 0 до 0,2, тогда как сверхдеформированные состояния имеют $\delta \approx 0.5$ (соотношение осей 2 к 1).

Математические детали параметров деформации следующие. Учитывая успех модели капли ядерной жидкости , в которой ядро ​​считается несжимаемой жидкостью, частоты гармонических осцилляторов ограничены так, что $\omega _{z}\omega _{\perp }^{2}=\omega _{0}^{3}$ остается постоянной при деформации, сохраняя объем эквипотенциальных поверхностей. Воспроизведение наблюдаемой плотности ядерной материи требует $\hbar \omega _{0}\approx (42\ {\text{MeV}})A^{-1/3}$, где А — массовое число. Связь между δ и анизотропией такова: $(\omega _{\perp }/\omega _{z})^{2}=(1+{\frac {2}{3}}\delta )/(1-{\frac {4}{3}}\delta )$, а связь между δ и соотношением осей $R=\omega _{\perp }/\omega _{z}$ является $\delta =(3/2)(R^{2}-1)/(2R^{2}+1)$.

Остальные два члена гамильтониана не относятся к деформации и присутствуют также в модели сферической оболочки. Термин «спин-орбита» представляет спин-орбитальную зависимость сильного ядерного взаимодействия ; оно намного больше и имеет противоположный знак по сравнению со специальным релятивистским спин-орбитальным расщеплением. Цель $\ell ^{2}$ Термин заключается в моделировании плоского профиля ядерного потенциала в зависимости от радиуса. Для ядерных волновых функций (в отличие от атомных волновых функций) состояния с высоким угловым моментом имеют плотность вероятности, сосредоточенную на больших радиусах. Термин $-\langle \ell ^{2}\rangle _{N}$ предотвращает смещение основной оболочки вверх или вниз в целом. Две регулируемые константы обычно параметризуются как $c_{1}=2\kappa \hbar \omega _{0}$ и $c_{2}=\mu \kappa \hbar \omega _{0}$. Типичные значения κ и μ для тяжелых ядер составляют 0,06 и 0,5. При такой параметризации $\hbar \omega _{0}$ используется как простой масштабный коэффициент во всех расчетах.

Выбор базиса и квантовых чисел

Для простоты вычислений с использованием вычислительных ресурсов 1950-х годов Нильссон использовал базис, состоящий из собственных состояний сферического гамильтониана. Квантовые числа Нильссона: $\{N,\ell ,m_{\ell },m_{s}\}$. Разница между сферическим и деформированным гамильтонианом пропорциональна $r^{2}Y_{20}\delta$, и это имеет матричные элементы, которые легко вычислить в этом базисе. Они соединяют разные оболочки N. Собственные состояния деформированного гамильтониана имеют хорошую четность (соответствует четному или нечетному N) и Ω — проекцию полного углового момента вдоль оси симметрии. В отсутствие члена запуска (см. Ниже) симметрия обращения времени приводит к вырождению состояний с противоположными знаками Ω, так что в расчетах необходимо учитывать только положительные значения Ω.

Интерпретация

В нечетном, хорошо деформированном ядре одночастичные уровни заполнены до уровня Ферми, а Ω и четность нечетной частицы дают спин и четность основного состояния.

Проворачивание

Поскольку потенциал не является сферически симметричным, одночастичные состояния не являются состояниями с хорошим угловым моментом J. Однако множитель Лагранжа $-\omega \cdot J$, известный как «запускающий» член, можно добавить к гамильтониану. Обычно вектор угловой частоты ω считается перпендикулярным оси симметрии, хотя можно рассматривать и поворот оси с наклоном. Заполнение одночастичных состояний до уровня Ферми приводит к образованию состояний, ожидаемый угловой момент которых вдоль оси проворачивания $\langle J_{x}\rangle$ имеет желаемое значение, заданное множителем Лагранжа.

Общая энергия

Часто требуется вычислить полную энергию как функцию деформации. Минимумы этой функции представляют собой предсказанные равновесные формы. Сложение одночастичных энергий для этой цели не работает, отчасти потому, что кинетические и потенциальные члены непропорциональны в два раза, а отчасти потому, что в сумме накапливаются небольшие ошибки в энергиях. По этой причине такие суммы обычно перенормируют с помощью процедуры, введенной Струтинским.

Энергетические уровни легких ядер.

Энергетические уровни ядер средней массы.

Графики энергетических уровней

Уровни одночастичных частиц можно показать на «диаграмме спагетти» как функции деформации. Большой разрыв между уровнями энергии при нулевой деформации указывает на число частиц, при котором происходит замыкание оболочки: традиционные « магические числа ». Любой такой разрыв при нулевой или ненулевой деформации указывает на то, что, когда уровень Ферми находится на этой высоте, ядро ​​будет стабильным относительно модели жидкой капли.

Внешние ссылки

• Реализация программного обеспечения с открытым исходным кодом

Ссылки

• Нильссон С.Г. «Связывающие состояния отдельных нуклонов в сильно деформированных ядрах», докторская диссертация, 1955 г.
• Оливиус, П., «Распространение модели ядерного проворачивания на вращение по наклонной оси и альтернативные потенциалы среднего поля», докторская диссертация, Лундский университет, 2004 г., http://www.matfys.lth.se/staff/Peter.Olivius/thesis. pdf — описывает современную реализацию модели
• Струтинский, Нукл. Физ. А122 (1968) 1 - оригинальная статья по методу Струтинского.
• Саламон и Круппа, «Коррекция кривизны в методе Струтинского», http://arxiv.org/abs/1004.0079 — описание метода Струтинского в открытом доступе.
• Неизвестный автор, «Приложение «Структура ядра»» с полным набором диаграмм Нильссона как для протонных, так и для нейтронных оболочек, а также эквивалентной диаграммой для ядер простых гармонических осцилляторов при различных деформациях: https://application.wiley-vch.de/ book/info/0-471-35633-6/toi99/www/struct/struct.pdf ***