Параметрическое программирование

Параметрическое программирование — это тип математической оптимизации , при котором задача оптимизации решается как функция одного или нескольких параметров . ^[1] Разработанный параллельно с анализом чувствительности , его самое раннее упоминание можно найти в диссертации 1952 года. ^[2] С тех пор произошли значительные изменения в случаях нескольких параметров, присутствия целочисленных переменных, а также нелинейностей.

Обозначения

В общем случае рассматривается следующая оптимизационная задача

{\begin{aligned}J^{*}(\theta )=&\min _{x\in \mathbb {R} ^{n}}f(x,\theta )\\&{\text{subject to }}g(x,\theta )\leq 0.\\&\theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{m}\end{aligned}}

где $x$ — переменная оптимизации, $\theta$ параметры, $f(x,\theta )$ целевая функция и $g(x,\theta )$ обозначаем ограничения . $J^{*}$ обозначает функцию, выходной сигнал которой является оптимальным значением целевой функции $f$ . Набор $\Theta$ обычно называется пространством параметров.

Оптимальное значение (т.е. результат решения задачи оптимизации) получается путем вычисления функции с аргументом $\theta$ .

Классификация

В зависимости от характера $f(x,\theta )$ и $g(x,\theta )$ и есть ли в задаче оптимизации целочисленные переменные, задачи параметрического программирования подразделяются на разные подклассы:

Если присутствует более одного параметра, т.е. $m>1$ , то ее часто называют задачей многопараметрического программирования. ^[3]
Если присутствуют целочисленные переменные, то проблема называется задачей (много)параметрического смешанно-целочисленного программирования. ^[4]
Если ограничения аффинны , то выполняется дополнительная классификация в зависимости от характера целевой функции в (много)параметрических (смешанно-целочисленных) задачах линейного, квадратичного и нелинейного программирования. Обратите внимание, что это обычно предполагает, что ограничения аффинны. ^[5]

Приложения

В теории управления в целом и в перерабатывающих отраслях.

Связь между параметрическим программированием и прогнозным управлением моделями для непрерывного производства , установленная в 2000 году, способствовала повышению интереса к этой теме. ^[6]^[7] Параметрическое программирование предлагает идею о том, что задачи оптимизации можно параметризовать как функции, которые можно оценить (аналогично справочной таблице). Это, в свою очередь, позволяет реализовать алгоритмы оптимизации в оптимальных контроллерах как предварительно вычисленные (автономные) математические функции, которые в некоторых случаях могут быть проще и быстрее оцениваться, чем решение полной задачи оптимизации в режиме онлайн. Это также открывает возможность создания оптимальных контроллеров на кристаллах (MPC onchip ^[8]). Однако автономная параметризация оптимальных решений сталкивается с проклятием размерности, поскольку количество возможных решений растет с увеличением размерности и количества ограничений в задаче. ^{[ нужна ссылка ]}

В программировании ЧПУ

Параметрическое программирование в контексте ЧПУ ( числового программного управления ) определяет циклы резки деталей в терминах переменных с переназначаемыми значениями, а не через жестко запрограммированные/зашитые экземпляры. Архетипически простым примером является написание программы G-кода для обработки семейства шайб : часто нет необходимости писать 15 программ для 15 членов семейства с различными диаметрами отверстий, внешними диаметрами, толщиной и материалами, когда это практически возможно. вместо этого написать 1 программу, которая вызывает различные переменные и считывает их текущие значения из таблицы присвоений. Затем программа дает команду направляющим и шпинделям станка перемещаться в различные положения с разными скоростями, соответственно, учитывая не только размеры детали (т. е. наружный, внутренний диаметр, толщину), но также даже скорости и подачи, необходимые для любого данного материала ( например, низкоуглеродистая сталь, высокоуглеродистая сталь; бронза, латунь или алюминий любой марки; любой тип; В таком программировании часто используются пользовательские макросы. ^[9]

Ссылки

^ Гал, Томас (1995). Постооптимальный анализ, параметрическое программирование и смежные темы: вырождение, многокритериальное принятие решений, избыточность (2-е изд.). Берлин: В. де Грюйтер. ISBN 978-3-11-087120-3 .
^ Гал, Томас; Гринберг, Харви Дж. (1997). Достижения в области анализа чувствительности и параметрического программирования . Международная серия по исследованию операций и науке управления. Том. 6. Бостон: Академическое издательство Kluwer. дои : 10.1007/978-1-4615-6103-3 . ISBN 978-0-7923-9917-9 .
^ Гал, Томас; Недома, Йозеф (1972). «Многопараметрическое линейное программирование». Наука управления . 18 (7): 406–422. дои : 10.1287/mnsc.18.7.406 . JSTOR 2629358 .
^ Дуа, Вивек; Пистикопулос, Эфстратиос Н. (октябрь 1999 г.). «Алгоритмы решения многопараметрических задач смешанно-целочисленной нелинейной оптимизации». Исследования в области промышленной и инженерной химии . 38 (10): 3976–3987. дои : 10.1021/ie980792u .
^ Пистикопулос, Эфстратиос Н.; Георгиадис, Майкл С.; Дуа, Вивек (2007). Теория многопараметрического программирования, алгоритмы и приложения . Вайнхайм: Wiley-VCH. дои : 10.1002/9783527631216 . ISBN 9783527316915 .
^ Бемпорад, Альберто; Морари, Манфред; Дуа, Вивек; Пистикопулос, Эфстратиос Н. (2000). «Явное решение прогнозного управления моделью с помощью многопараметрического квадратичного программирования». Материалы Американской конференции по контролю 2000 года . п. 872. дои : 10.1109/ACC.2000.876624 . ISBN 0-7803-5519-9 . S2CID 1068816 .
^ Бемпорад, Альберто; Морари, Манфред; Дуа, Вивек; Пистикопулос, Эфстратиос Н. (январь 2002 г.). «Явный линейный квадратичный регулятор для систем с ограничениями». Автоматика . 38 (1): 3–20. CiteSeerX 10.1.1.67.2946 . дои : 10.1016/S0005-1098(01)00174-1 .
^ MPC на кристалле — Последние достижения в области применения многопараметрического управления на основе моделей | Запросить PDF
^ Линч, Майк (12 мая 2023 г.). «5 причин, почему вам следует знать, как писать пользовательские макросы. Пользовательские макросы расширяют возможности программ G-кода, предоставляя пользователям возможность кодировать операции, которые ранее были невозможны» . www.mmsonline.com . Проверено 20 мая 2023 г. {{cite web}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[1] Гал, Томас (1995). Постооптимальный анализ, параметрическое программирование и смежные темы: вырождение, многокритериальное принятие решений, избыточность (2-е изд.). Берлин: В. де Грюйтер. ISBN 978-3-11-087120-3 .

[2] Гал, Томас; Гринберг, Харви Дж. (1997). Достижения в области анализа чувствительности и параметрического программирования . Международная серия по исследованию операций и науке управления. Том. 6. Бостон: Академическое издательство Kluwer. дои : 10.1007/978-1-4615-6103-3 . ISBN 978-0-7923-9917-9 .

[3] Гал, Томас; Недома, Йозеф (1972). «Многопараметрическое линейное программирование». Наука управления . 18 (7): 406–422. дои : 10.1287/mnsc.18.7.406 . JSTOR 2629358 .

[4] Дуа, Вивек; Пистикопулос, Эфстратиос Н. (октябрь 1999 г.). «Алгоритмы решения многопараметрических задач смешанно-целочисленной нелинейной оптимизации». Исследования в области промышленной и инженерной химии . 38 (10): 3976–3987. дои : 10.1021/ie980792u .

[5] Пистикопулос, Эфстратиос Н.; Георгиадис, Майкл С.; Дуа, Вивек (2007). Теория многопараметрического программирования, алгоритмы и приложения . Вайнхайм: Wiley-VCH. дои : 10.1002/9783527631216 . ISBN 9783527316915 .

[6] Бемпорад, Альберто; Морари, Манфред; Дуа, Вивек; Пистикопулос, Эфстратиос Н. (2000). «Явное решение прогнозного управления моделью с помощью многопараметрического квадратичного программирования». Материалы Американской конференции по контролю 2000 года . п. 872. дои : 10.1109/ACC.2000.876624 . ISBN 0-7803-5519-9 . S2CID 1068816 .

[7] Бемпорад, Альберто; Морари, Манфред; Дуа, Вивек; Пистикопулос, Эфстратиос Н. (январь 2002 г.). «Явный линейный квадратичный регулятор для систем с ограничениями». Автоматика . 38 (1): 3–20. CiteSeerX 10.1.1.67.2946 . дои : 10.1016/S0005-1098(01)00174-1 .

[8] MPC на кристалле — Последние достижения в области применения многопараметрического управления на основе моделей | Запросить PDF

[Lynch-2023-05-12-9] Линч, Майк (12 мая 2023 г.). «5 причин, почему вам следует знать, как писать пользовательские макросы. Пользовательские макросы расширяют возможности программ G-кода, предоставляя пользователям возможность кодировать операции, которые ранее были невозможны» . www.mmsonline.com . Проверено 20 мая 2023 г. {{cite web}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]