Радиально неограниченная функция

В математике радиально неограниченная функция — это функция $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ для чего $$\|x\|\to \infty \Rightarrow f(x)\to \infty .$$

Или, что то же самое, $$\forall c>0:\exists r>0:\forall x\in \mathbb {R} ^{n}:[\Vert x\Vert >r\Rightarrow f(x)>c]$$

Такие функции применяются в теории управления и необходимы при оптимизации для определения компактов .

Обратите внимание, что нормой, используемой в определении, может быть любая норма, определенная на $\mathbb {R} ^{n}$, и что поведение функции вдоль осей не обязательно показывает, является ли она радиально неограниченной или нет; т.е. чтобы быть радиально неограниченным, условие должно быть проверено на любом пути, что приводит к: $$\|x\|\to \infty$$

Например, функции $${\begin{aligned}f_{1}(x)&=(x_{1}-x_{2})^{2}\\f_{2}(x)&=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})/(1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+(x_{1}-x_{2})^{2}\end{aligned}}$$не являются радиально неограниченными, поскольку вдоль прямой $x_{1}=x_{2}$, условие не проверяется, хотя вторая функция глобально положительно определена.