Задача Рэлея

В гидродинамике проблема Рэлея , также известная как первая проблема Стокса, представляет собой проблему определения потока, создаваемого внезапным движением бесконечно длинной пластины из состояния покоя, названной в честь лорда Рэлея и сэра Джорджа Стокса . Это считается одной из простейших нестационарных задач, имеющих точное решение для уравнений Навье-Стокса . Импульсное движение полубесконечной плиты изучал Кейт Стюартсон .

Описание потока

Рассмотрим бесконечно длинную пластину, которую внезапно заставили двигаться с постоянной скоростью. $U$ в $x$ направлении, которое находится в $y=0$ в бесконечной области жидкости, которая изначально всюду покоится. для несжимаемой жидкости Уравнения Навье-Стокса сводятся к

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$

где $\nu$ – кинематическая вязкость . Начальное состояние и условие прилипания на стене равны

$u(y,0)=0,\quad u(0,t>0)=U,\quad u(\infty ,t>0)=0,$

последнее условие связано с тем, что движение при $y=0$ не ощущается на бесконечности. Течение происходит только за счет движения пластины, приложенного градиента давления нет.

Самоподобное решение

Задача в целом аналогична одномерной задаче теплопроводности. Следовательно, можно ввести самоподобную переменную

$\eta ={\frac {y}{\sqrt {\nu t}}},\quad f(\eta )={\frac {u}{U}}$

Подстановка этого уравнения в частных производных сводит его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

$f''+{\frac {1}{2}}\eta f'=0$

с граничными условиями

$f(0)=1,\quad f(\infty )=0$

Решение поставленной задачи можно записать в виде дополнительной функции ошибок.

$u=U\mathrm {erfc} \left({\frac {y}{\sqrt {4\nu t}}}\right)$

Сила, действующая на пластину на единицу площади, равна

$F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}=-\rho {\sqrt {\frac {\nu U^{2}}{\pi t}}}$

Произвольное движение стены

Вместо использования ступенчатого граничного условия для движения стенки можно задать скорость стенки как произвольную функцию времени, т. е. $U=f(t)$. Тогда решение дается формулой

$u(y,t)=\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )}{2{\sqrt {\pi \nu }}}}{\frac {y}{(t-\tau )^{3/2}}}e^{-{\frac {y^{2}}{4\nu (t-\tau )}}}d\tau .$

Задача Рэлея в цилиндрической геометрии

Вращающийся цилиндр

Рассмотрим бесконечно длинный цилиндр радиуса $a$ начинает внезапно вращаться во времени $t=0$ с угловой скоростью $\Omega$. Тогда скорость в $\theta$ направление задается

$v_{\theta }={\frac {a\Omega }{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{1}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}$

где $K_{1}$ – модифицированная функция Бесселя второго рода. Как $t\rightarrow \infty$, решение приближается к решению жесткого вихря. Сила, действующая на цилиндр на единицу площади, равна

$F=\mu \left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {v_{\theta }}{r}}\right)_{r=a}={\frac {\rho a^{2}\Omega }{t}}e^{-{\frac {a^{2}}{2\nu t}}}I_{0}\left({\frac {a^{2}}{2\nu t}}\right)-2\mu \Omega$

где $I_{0}$ — модифицированная функция Бесселя первого рода.

Раздвижной цилиндр

Точное решение также доступно, когда цилиндр начинает скользить в осевом направлении с постоянной скоростью. $U$. Если считать, что ось цилиндра находится в $x$ направлении, то решение будет иметь вид

$u={\frac {U}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{0}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}.$

См. также

• Проблема Стокса