Плетистическая замена

Плетистическая замена — это сокращенное обозначение общего вида замены в алгебре симметричных функций и алгебры симметричных многочленов . По сути, это базовая замена переменных, но допускающая изменение количества используемых переменных.

Определение

Формальное определение плетистической замены основано на том факте, что кольцо симметрических функций $\Lambda _{R}(x_{1},x_{2},\ldots )$ порождается как R -алгебра симметричными функциями суммы степеней

p_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+x_{3}^{k}+\cdots .

Для любой симметричной функции $f$ и любая формальная сумма мономов $A=a_{1}+a_{2}+\cdots$ плетистическая замена f[A] — это формальный ряд, полученный в результате замен

p_{k}\longrightarrow a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k}+\cdots

в разложении $f$ как многочлен от p _k s.

Примеры

Если $X$ обозначает формальную сумму $X=x_{1}+x_{2}+\cdots$ , затем $f[X]=f(x_{1},x_{2},\ldots )$ .

Можно написать $1/(1-t)$ для обозначения формальной суммы $1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots$ , и поэтому плетистическая замена $f[1/(1-t)]$ это просто результат установки $x_{i}=t^{i-1}$ для каждого И. То есть,

f\left[{\frac {1}{1-t}}\right]=f(1,t,t^{2},t^{3},\ldots )

.

Плетистическую замену можно использовать и для изменения количества переменных: если $X=x_{1}+x_{2}+\cdots ,x_{n}$ , затем $f[X]=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ – соответствующая симметрическая функция в кольце $\Lambda _{R}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ симметричных функций от n переменных.

Ниже перечислены некоторые другие распространенные замены. Во всех следующих примерах $X=x_{1}+x_{2}+\cdots$ и $Y=y_{1}+y_{2}+\cdots$ являются формальными суммами.

Если $f$ — однородная симметричная функция степени $d$ , затем
$f[tX]=t^{d}f(x_{1},x_{2},\ldots )$
Если $f$ — однородная симметричная функция степени $d$ , затем
$f[-X]=(-1)^{d}\omega f(x_{1},x_{2},\ldots )$ ,

где

\omega

- это хорошо известная инволюция симметричных функций, которая отправляет функцию Шура

s_{\lambda }

к сопряженной функции Шура

s_{\lambda ^{\ast }}

.

Замена $S:f\mapsto f[-X]$ является антиподом структуры алгебры Хопфа на кольце симметричных функций .
$p_{n}[X+Y]=p_{n}[X]+p_{n}[Y]$
Карта $\Delta :f\mapsto f[X+Y]$ является копроизведением структуры алгебры Хопфа на кольце симметрических функций.
$h_{n}\left[X(1-t)\right]$ — знакопеременный ряд Фробениуса внешней алгебры определяющего представления симметрической группы, где $h_{n}$ обозначает полную однородную симметрическую функцию степени $n$ .
$h_{n}\left[X/(1-t)\right]$ — ряд Фробениуса симметрической алгебры определяющего представления симметрической группы.