Регулярная полуалгебраическая система

В компьютерной алгебре регулярная полуалгебраическая система — это особый вид треугольной системы многомерных многочленов над действительным замкнутым полем.

Введение

Регулярные цепи и треугольные разложения являются фундаментальными и хорошо разработанными инструментами для описания сложных решений полиномиальных систем. Понятие регулярной полуалгебраической системы представляет собой адаптацию концепции регулярной цепи с упором на решения реального аналога: полуалгебраических систем.

Любая полуалгебраическая система $S$ можно разложить на конечное число регулярных полуалгебраических систем $S_{1},\ldots ,S_{e}$ такая, что точка (с действительными координатами) является решением уравнения $S$ тогда и только тогда, когда оно является решением одной из систем $S_{1},\ldots ,S_{e}$.

Формальное определение

Позволять $T$ быть регулярной цепочкой $\mathbf {k} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ для некоторого упорядочения переменных $\mathbf {x} =x_{1},\ldots ,x_{n}$ и настоящее закрытое поле $\mathbf {k}$. Позволять $\mathbf {u} =u_{1},\ldots ,u_{d}$ и $\mathbf {y} =y_{1},\ldots ,y_{n-d}$ обозначим соответственно переменные $\mathbf {x}$ свободные и алгебраические относительно $T$. Позволять $P\subset \mathbf {k} [\mathbf {x} ]$ быть конечным таким, что каждый полином из $P$ регулярен относительно насыщенного идеала $T$. Определять $P_{>}:=\{p>0\mid p\in P\}$. Позволять ${\mathcal {Q}}$ быть бескванторной формулой $\mathbf {k} [\mathbf {x} ]$ включая только переменные $\mathbf {u}$. Мы говорим, что $R:=[{\mathcal {Q}},T,P_{>}]$ является регулярной полуалгебраической системой, если выполняются следующие три условия.

• ${\mathcal {Q}}$ определяет непустое открытое полуалгебраическое множество $S$ из $\mathbf {k} ^{d}$,
• обычная система $[T,P]$ хорошо специализируется на каждом этапе $u$ из $S$,
• в каждой точке $u$ из $S$, специализированная система $[T(u),P(u)_{>}]$ имеет хотя бы один действительный ноль.

Нулевой набор $R$, обозначенный $Z_{\mathbf {k} }(R)$, определяется как множество точек $(u,y)\in \mathbf {k} ^{d}\times \mathbf {k} ^{n-d}$ такой, что ${\mathcal {Q}}(u)$ это правда и $t(u,y)=0,p(u,y)>0$, для всех $t\in T$и все $p\in P$. Обратите внимание, что $Z_{\mathbf {k} }(R)$ имеет размерность $d$ в аффинном пространстве $\mathbf {k} ^{n}$.

См. также

• Настоящая алгебраическая геометрия