Дисперсия Тейлора

Дисперсия Тейлора или диффузия Тейлора — это кажущаяся или эффективная диффузия некоторого скалярного поля, возникающая в больших масштабах из-за присутствия сильного ограниченного сдвигового потока с нулевым средним в малых масштабах. По сути, сдвиг размывает распределение концентрации в направлении потока, увеличивая скорость его распространения в этом направлении. Эффект назван в честь британского специалиста по гидродинамике Дж. Тейлора , который описал дисперсию, вызванную сдвигом, для больших чисел Пекле . Позже анализ был обобщен Резерфордом Арисом для произвольных значений числа Пекле . Процесс дисперсии иногда также называют дисперсией Тейлора-Ариса .

Канонический пример — это простой диффундирующий вид в однородном состоянии. Течение Пуазейля через однородную круглую трубку без флюса. граничные условия.

Описание

Мы используем z как осевую координату и r как радиальную координату. координату и предположим осесимметрию. Труба имеет радиус a и скорость жидкости равна:

${\boldsymbol {u}}=w{\hat {\boldsymbol {z}}}=w_{0}(1-r^{2}/a^{2}){\hat {\boldsymbol {z}}}$

Концентрация , диффундирующих частиц обозначается c а ее диффузии коэффициент D. ​Предполагается, что концентрация регулируется линейное уравнение адвекции-диффузии :

${\frac {\partial c}{\partial t}}+{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}c=D\nabla ^{2}c$

Концентрация и скорость записываются как сумма среднего поперечного сечения (обозначенного чертой) и отклонения (обозначенного штрихом), таким образом:

$w(r)={\bar {w}}+w'(r)$

$c(r,z)={\bar {c}}(z)+c'(r,z)$

При некоторых предположениях (см. ниже) можно вывести уравнение, включающее только средние величины:

${\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial t}}+{\bar {w}}{\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial z}}=D\left(1+{\frac {a^{2}{\bar {w}}^{2}}{48D^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}{\bar {c}}}{\partial z^{2}}}$

Обратите внимание, что эффективный коэффициент диффузии, умноженный на производную в правой части, больше исходного значения коэффициента диффузии D. Эффективный коэффициент диффузии часто записывается как:

$D_{\mathrm {eff} }=D\left(1+{\frac {{\mathit {Pe}}^{2}}{48}}\right)\,,$

где ${\mathit {Pe}}=a{\bar {w}}/D$ — число Пекле , основанное на радиусе канала $a$. Интересный результат состоит в том, что при больших значениях числа Пекле эффективный коэффициент диффузии обратно пропорционален молекулярному коэффициенту диффузии. Таким образом, эффект дисперсии Тейлора более выражен при более высоких числах Пекле.

В системе отсчета, движущейся со средней скоростью, т. е. путем введения $\xi =z-{\bar {w}}t$, процесс дисперсии становится чисто диффузионным процессом,

${\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial t}}=D_{\mathrm {eff} }{\frac {\partial ^{2}{\bar {c}}}{\partial \xi ^{2}}}$

с коэффициентом диффузии, определяемым эффективным коэффициентом диффузии.

Предположение состоит в том, что $c'\ll {\bar {c}}$ для данного $z$, что имеет место, если масштаб длины в $z$ направление достаточно длинное, чтобы сгладить градиент в $r$ направление. Это можно перевести в требование, чтобы масштаб длины $L$ в $z$ направление удовлетворяет:

$L\gg {\frac {a^{2}}{D}}{\bar {w}}=a{\mathit {Pe}}$.

Дисперсия также является функцией геометрии канала. Интересное явление, например, состоит в том, что дисперсия потока между двумя бесконечными плоскими пластинами и бесконечно тонким прямоугольным каналом различается примерно в 8,75 раз. Здесь очень маленькие боковые стенки прямоугольного канала оказывают огромное влияние на дисперсию.

Хотя точная формула не будет справедлива в более общих обстоятельствах, этот механизм все же применим, и эффект сильнее при более высоких числах Пекле. Дисперсия Тейлора имеет особое значение для потоков в пористых средах, моделируемых законом Дарси .

Вывод

Уравнение Тейлора можно вывести, используя метод средних значений, впервые предложенный Арисом. Результат также можно получить из асимптотики для больших времен, что более интуитивно понятно. В размерной системе координат $(x',r',\theta )$, рассмотрим полностью развитый поток Пуазейля $u=2U[1-(r'/a)^{2}]$ течет внутри трубы радиуса $a$, где $U$ – средняя скорость жидкости. Разновидность концентрации $c$ с некоторым произвольным распределением должен быть выпущен где-то внутри канала в определенный момент времени $t'=0$. Пока это начальное распределение компактно, например, вещество/растворенное вещество не высвобождается повсюду с конечным уровнем концентрации, вещества будут конвекционно перемещаться вдоль трубы со средней скоростью. $U$. В системе отсчёта, движущейся со средней скоростью и масштабированной по следующим безразмерным масштабам

$t={\frac {t'}{a^{2}/D}},\quad x={\frac {x'-Ut'}{a}},\quad r={\frac {r'}{a}},\quad Pe={\frac {Ua}{D}}$

где $a^{2}/D$ - время, необходимое для распространения вида в радиальном направлении, $D$ - коэффициент диффузии вида и $Pe$ — число Пекле , основные уравнения имеют вид

${\frac {\partial c}{\partial t}}+Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c}{\partial r}}\right).$

Таким образом, в этой движущейся системе координат временами $t\sim 1$ (в размерных переменных, $t'\sim a^{2}/D$), вид будет распространяться радиально. Тогда ясно, что когда $t\gg 1$ (в размерных переменных, $t'\gg a^{2}/D$), диффузия в радиальном направлении сделает концентрацию однородной по всей трубе, хотя, тем не менее, вещество все еще диффундирует в $x$ направление. Дисперсия Тейлора количественно определяет этот процесс осевой диффузии для больших $t$.

Предполагать $t\sim 1/\epsilon \gg 1$ (т.е. времена большие по сравнению со временем радиальной диффузии $a^{2}/D$), где $\epsilon \ll 1$ это небольшое число. Тогда в это время концентрация будет распространяться в осевом направлении. $x\sim {\sqrt {t}}\sim {\sqrt {1/\epsilon }}\gg 1$. Чтобы количественно оценить поведение в больших масштабах, необходимо выполнить следующие масштабирования:

$\tau =\epsilon t,\quad \xi ={\sqrt {\epsilon }}x$

можно представить. Тогда уравнение становится

$\epsilon {\frac {\partial c}{\partial \tau }}+{\sqrt {\epsilon }}Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c}{\partial \xi }}=\epsilon {\frac {\partial ^{2}c}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c}{\partial r}}\right).$

Если стенки трубы не поглощают вещество и не реагируют с ним, то граничное условие $\partial c/\partial r=0$ должен быть удовлетворен в $r=1$. Благодаря симметрии, $\partial c/\partial r=0$ в $r=0$.

С $\epsilon \ll 1$, решение можно разложить в асимптотический ряд: $c=c_{0}+{\sqrt {\epsilon }}c_{1}+\epsilon c_{2}+\cdots$ Подстановка этого ряда в основное уравнение и сбор членов разных порядков приведет к ряду уравнений. В главном порядке полученное уравнение имеет вид

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{0}}{\partial r}}\right)=0.$

Интегрируя это уравнение с определенными ранее граничными условиями, находим $c_{0}=c_{0}(\xi ,\tau )$. По этому приказу, $c_{0}$ все еще неизвестная функция. Этот факт, что $c_{0}$ не зависит от $r$ является ожидаемым результатом, поскольку, как уже было сказано, временами $t'\gg a^{2}/D$, то радиальная диффузия будет доминировать в первую очередь и сделает концентрацию однородной по всей трубе.

Условия заказа ${\sqrt {\epsilon }}$ приводит к уравнению

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{1}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{0}}{\partial \xi }}.$

Интегрируя это уравнение относительно $r$ использование граничных условий приводит к

$c_{1}(\xi ,r,\tau )=c_{1a}(\xi ,\tau )+{\frac {Pe}{8}}(2r^{2}-r^{4}){\frac {\partial c_{0}}{\partial \xi }}$

где $c_{1a}$ это ценность $c_{1}$ в $r=0$, неизвестная функция в этом порядке.

Условия заказа $\epsilon$ приводит к уравнению

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{2}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{1}}{\partial \xi }}+{\frac {\partial c_{0}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}.$

Это уравнение также можно проинтегрировать относительно $r$, но требуется условие разрешимости приведенного выше уравнения. Условие разрешимости получается умножением приведенного выше уравнения на $2rdr$ и интегрируя все уравнение из $r=0$ к $r=1$. Это также то же самое, что и усреднение приведенного выше уравнения по радиальному направлению. Используя граничные условия и результаты, полученные в двух предыдущих порядках, условие разрешимости приводит к

${\frac {\partial c_{0}}{\partial \tau }}=\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial c_{0}}{\partial t}}=\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial x^{2}}}.$

Это и есть искомое уравнение диффузии. Возвращаясь к лабораторной системе координат и размерным переменным, уравнение принимает вид

${\frac {\partial c_{0}}{\partial t'}}+U{\frac {\partial c_{0}}{\partial x'}}=D\left(1+{\frac {U^{2}a^{2}}{48D^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial x'^{2}}}.$

По тому, как выведено это уравнение, видно, что оно справедливо для $t'\gg a^{2}/D$ в котором $c_{0}$ существенно меняется в масштабе длины $x'\gg a$ (точнее в масштабе $x\sim {\sqrt {Dt'}})$. В то же время масштаб $t'\gg a^{2}/D$, на любом малом масштабе относительно некоторого места, которое движется со средним потоком, скажем $x'-Ut'=x_{s}'-Ut'$, т. е. в масштабе длины $x'-x_{s}'\sim a$, концентрация уже не зависит от $r$, но задается $c=c_{0}+{\sqrt {\epsilon }}c_{1}.$

Асимптотика высшего порядка

Интегрируя уравнения, полученные во втором порядке, находим

$c_{2}(\xi ,\tau )=c_{2a}(\xi ,\tau )+{\frac {Pe}{4}}\left(r^{2}-{\frac {r^{4}}{2}}\right){\frac {\partial c_{1a}}{\partial \xi }}+{\frac {Pe^{2}}{32}}\left({\frac {r^{2}}{6}}+{\frac {r^{4}}{2}}-{\frac {5r^{6}}{8}}+{\frac {r^{8}}{8}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}$

где $c_{2a}(\xi ,\tau )$ является неизвестным в этом заказе.

Сейчас собираю условия заказа $\epsilon {\sqrt {\epsilon }}$, мы находим

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{3}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{2}}{\partial \xi }}+{\frac {\partial c_{1}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial ^{2}c_{1}}{\partial \xi ^{2}}}.$

Условие разрешимости приведенного выше уравнения дает основное уравнение для $c_{1a}(\xi ,\tau )$ следующее

${\frac {\partial c_{1a}}{\partial \tau }}-\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{1a}}{\partial \xi ^{2}}}=-{\frac {Pe^{3}}{2880}}{\frac {\partial ^{3}c_{0}}{\partial \xi ^{3}}}.$

Другие источники

• Арис, Р. (1956). «О дисперсии растворенного вещества в жидкости, текущей через трубку». Труды Лондонского королевского общества, серия A. 235 (1200): 67–77. Бибкод : 1956РСПСА.235...67А . дои : 10.1098/rspa.1956.0065 . S2CID   95229777 .
• Франкель, И.; Бреннер, Х. (1989). «Об основах обобщенной теории дисперсии Тейлора». Журнал механики жидкости . 204 : 97. Бибкод : 1989JFM...204...97F . дои : 10.1017/S0022112089001679 . S2CID   123719494 .
• Тейлор, Джеффри (1953). «Дисперсия растворимых веществ в растворителе, медленно текущем через трубку». Труды Лондонского королевского общества, серия A. 219 (1137): 186–203. Бибкод : 1953RSPSA.219..186T . дои : 10.1098/rspa.1953.0139 . S2CID   97372019 .
• Тейлор, Джеффри (1954). «Рассеивание вещества в турбулентном потоке через трубу». Труды Лондонского королевского общества, серия A. 223 (1155): 446–468. Бибкод : 1954RSPSA.223..446T . дои : 10.1098/rspa.1954.0130 . S2CID   96182418 .
• Тейлор, Джеффри (1954). «Условия, при которых дисперсию растворенного вещества в потоке растворителя можно использовать для измерения молекулярной диффузии». Труды Лондонского королевского общества, серия A. 225 (1163): 473–477. Бибкод : 1954RSPSA.225..473T . дои : 10.1098/rspa.1954.0216 . S2CID   97701431 .
• Бреннер, Х. (1980). «Дисперсия в результате течения через пространственно-периодические пористые среды». Философские труды Лондонского королевского общества, серия A. 297 (1430): 81–133. Бибкод : 1980RSPTA.297...81B . дои : 10.1098/rsta.1980.0205 . S2CID   121853893 .
• Местель. Дисперсия Дж. Тейлора — диффузия, усиленная сдвигом , Раздаточный материал лекций для курса M4A33 , Имперский колледж.