Локально конечное многообразие

В универсальной алгебре разновидность . алгебр означает класс всех алгебраических структур данной сигнатуры, удовлетворяющих заданному набору тождеств Многообразие называется локально конечным, если каждая конечно порожденная алгебра имеет конечную мощность или, что то же самое, если каждая конечно порожденная свободная алгебра имеет конечную мощность.

Многообразие булевых алгебр представляет собой известный пример. Свободная булева алгебра на n образующих имеет мощность 2 ^{2 н} , состоящий из n -арных операций 2 ^н →2.

Разнообразие множеств представляет собой вырожденный пример: свободное множество из n генераторов имеет мощность n и состоит только из самих генераторов.

Разнообразие точечных множеств представляет собой тривиальный пример: свободное точечное множество на n образующих имеет мощность n +1 и состоит из образующих и базовой точки.

Разнообразие графов, определенное следующим образом, представляет собой комбинаторный пример. Определим граф G = ( E , s , t ) как набор E ребер и унарных операций s , t источника и цели, удовлетворяющих условиям s ( s ( e )) = t ( s ( e )) и s ( t ( е )) знак равно т ( т ( е )). Вершины — это ребра в (общем) образе s и t . Свободный граф на n образующих имеет мощность 3 n и состоит из n ребер e, каждое с двумя концами s ( e ) и t ( e ). Графы с нетривиальными отношениями инцидентности возникают как факторы свободных графов, чаще всего за счет идентификации вершин.

Определенное таким образом многообразие множеств и разнообразие графов образуют предпучковую категорию и, следовательно, топос . Это не относится к многообразию булевых алгебр или точечных множеств.

Ссылки

• http://www.math.mcmaster.ca/~matt/publications/novo.pdf