Коэффициент точечно-бисерийной корреляции

Коэффициент двухрядной точечной корреляции ( r _pb ) — это коэффициент корреляции, используемый, когда одна переменная (например, Y ) является дихотомической ; Y может быть либо «естественным» дихотомическим, например, если монета выпадет орлом или решкой, либо искусственно дихотомизированной переменной. В большинстве ситуаций нецелесообразно искусственно дихотомизировать переменные. Когда новая переменная искусственно дихотомируется, новая дихотомическая переменная может быть концептуализирована как имеющая в основе свою непрерывность. В этом случае бисериальная корреляция более подходящим расчетом будет .

Точечно-бисерийная корреляция математически эквивалентна коэффициенту корреляции Пирсона (момент произведения) ; то есть, если у нас есть одна непрерывно измеряемая переменная X и дихотомическая переменная Y , r _XY = r _pb . Это можно продемонстрировать, присвоив дихотомической переменной два различных числовых значения.

Расчет

Чтобы вычислить r _pb , предположим, что дихотомическая переменная Y имеет два значения 0 и 1. Если мы разделим набор данных на две группы: группу 1, которая получила значение «1» для Y , и группу 2, которая получила значение «0». на Y , то коэффициент точечно-бисериальной корреляции вычисляется следующим образом:

$r_{pb}={\frac {M_{1}-M_{0}}{s_{n}}}{\sqrt {\frac {n_{1}n_{0}}{n^{2}}}},$

где s _n — стандартное отклонение, используемое, когда данные доступны для каждого члена совокупности:

$s_{n}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}\,,$

M ₁ — среднее значение непрерывной переменной X для всех точек данных в группе 1, а M _{0 —} среднее значение непрерывной переменной X для всех точек данных в группе 2. Кроме того, n ₁ — количество точек данных в группе. 1, n ₀ — количество точек данных в группе 2, а n — общий размер выборки. Эта формула представляет собой вычислительную формулу, полученную на основе формулы для r _XY с целью сокращения количества шагов в расчете; его легче вычислить, чем r _XY .

Существует эквивалентная формула, в которой используется s _{n −1} :

$r_{pb}={\frac {M_{1}-M_{0}}{s_{n-1}}}{\sqrt {\frac {n_{1}n_{0}}{n(n-1)}}},$

где s _{n −1} — стандартное отклонение, используемое, когда данные доступны только для выборки совокупности:

$s_{n-1}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}.$

Версия формулы, использующая s _{n −1,} полезна, если вычисляются коэффициенты двухрядной корреляции точек на языке программирования или в другой среде разработки, где есть функция для вычисления s _{n −1} , но нет функции для вычисления s _n .

Книга Гласса и Хопкинса « Статистические методы в образовании и психологии » (3-е издание) содержит правильную версию формулы точечного бисериала.

Также можно записать квадрат точечного бисериального коэффициента корреляции:

${\frac {(M_{1}-M_{0})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}\left({\frac {n_{1}n_{0}}{n}}\right)\,.$

Мы можем проверить нулевую гипотезу о том, что корреляция в популяции равна нулю. Немного алгебры показывает, что обычная формула для оценки значимости коэффициента корреляции применительно к r _pb совпадает с формулой для непарного t -критерия , и поэтому

$r_{pb}{\sqrt {\frac {n_{1}+n_{0}-2}{1-r_{pb}^{2}}}}$

следует t-распределению Стьюдента с ( n ₁ + n ₀ − 2) степенями свободы, когда нулевая гипотеза верна.

Одним из недостатков точечного бисериального коэффициента является то, что чем дальше распределение Y от 50/50, тем более ограниченным будет диапазон значений, которые может принимать коэффициент. Если можно предположить, что X имеет нормальное распределение, лучший описательный индекс дается бисериальным коэффициентом.

$r_{b}={\frac {M_{1}-M_{0}}{s_{n-1}}}{\frac {n_{1}n_{0}}{n^{2}u}},$

где u — ордината нормального распределения с нулевым средним значением и единичной дисперсией в точке, которая делит распределение на пропорции n ₀ / n и n ₁ / n . Это нелегко вычислить, и бисериальный коэффициент на практике широко не используется.

Конкретный случай бисериальной корреляции возникает, когда X представляет собой сумму ряда дихотомических переменных, одной из которых Y. является Примером этого может служить случай, когда X — общий балл человека по тесту, состоящему из n элементов, набранных дихотомически. Интересующая статистика (которая представляет собой индекс дискриминации) представляет собой корреляцию между ответами на данный вопрос и соответствующими общими баллами по тесту. Широко используются три вычисления: все они называются точечно-бисерийной корреляцией : (i) корреляция Пирсона между баллами по заданиям и общими баллами по тесту, включая баллы по заданиям, (ii) корреляция Пирсона между баллами по предметам и общими баллами по тесту, исключая баллы по заданиям, и (iii) корреляция с поправкой на систематическую ошибку, вызванную включением баллов по пунктам в результаты тестов. Корреляция (iii) равна

$r_{upb}={\frac {M_{1}-M_{0}-1}{\sqrt {{\frac {n^{2}s_{n}^{2}}{n_{1}n_{0}}}-2(M_{1}-M_{0})+1}}}.$

Немного другая версия точечного бисериального коэффициента - это бисериальный коэффициент ранга, который возникает там, где переменная X состоит из рангов, а Y является дихотомической. Мы могли бы вычислить коэффициент таким же образом, как и в случае, когда X является непрерывным, но у него будет тот же недостаток: диапазон значений, которые он может принимать, становится более ограниченным по мере того, как распределение Y становится более неравномерным. Чтобы обойти эту проблему, отметим, что коэффициент будет иметь наибольшее значение, когда все наименьшие ранги расположены напротив 0, а самые большие ранги - напротив 1. Наименьшее значение имеет место в обратном случае. Эти значения соответственно плюс и минус ( n ₁ + n ₀ )/2. Поэтому мы можем использовать обратную величину этого значения для перемасштабирования разницы между наблюдаемыми средними рангами в интервал от плюс одного до минус одного. Результат

$r_{rb}=2{\frac {M_{1}-M_{0}}{n_{1}+n_{0}}},$

где M ₁ и M ₀ представляют собой соответственно средние значения рангов, соответствующих оценкам 1 и 0 дихотомической переменной. Эта формула, упрощающая расчеты путем подсчета соглашений и инверсий, принадлежит Джину В. Глассу (1966).

Это можно использовать для проверки нулевой гипотезы о нулевой корреляции в популяции, из которой была взята выборка. Если r _rb рассчитывается, как указано выше, то меньшее из

$(1+r_{rb}){\frac {n_{1}n_{0}}{2}}$

и

$(1-r_{rb}){\frac {n_{1}n_{0}}{2}}$

распределяется как U Манна – Уитни с размерами выборки n ₁ и n _0, когда нулевая гипотеза верна.

Примечания

• МакКаллум, Роберт С. и др. 2002. О практике дихотомизации количественных переменных. Психологические методы 7 (1): 19–40.

Внешние ссылки

• Точечный бисериальный коэффициент (Кит Калкинс, 2005)