n- кривая

Возьмем функционально-теоретическую алгебру C [0, 1] кривых. Для каждой петли γ в точке 1 и каждого натурального числа n мы определяем кривую $\gamma _{n}$ называется n -кривой . - кривые n интересны в двух отношениях.

1. Их f-произведения, суммы и разности порождают множество красивых кривых.
2. Используя n -кривые, мы можем определить преобразование кривых, называемое n -кривыми.

Мультипликативная инверсия кривой

Кривая γ в функционально-теоретической алгебре C [0, 1] обратима, т. е.

$\gamma ^{-1}\,$

существует, если

$\gamma (0)\gamma (1)\neq 0.\,$

Если $\gamma ^{*}=(\gamma (0)+\gamma (1))e-\gamma$, где $e(t)=1,\forall t\in [0,1]$, затем

$\gamma ^{-1}={\frac {\gamma ^{*}}{\gamma (0)\gamma (1)}}.$

Множество G обратимых кривых является некоммутативной группой относительно умножения. Кроме того, множество H петель в точке 1 является абелевой подгруппой группы G. Если $\gamma \in H$, то отображение $\alpha \to \gamma ^{-1}\cdot \alpha \cdot \gamma$ является внутренним автоморфизмом группы G.

Мы используем эти понятия для определения n -кривых и n -кривых.

n -кривые и их произведения

Если x — действительное число и [ x ] обозначает наибольшее целое число, не большее x , то $x-[x]\in [0,1].$

Если $\gamma \in H$ и n — целое положительное число, затем определим кривую $\gamma _{n}$ к

$\gamma _{n}(t)=\gamma (nt-[nt]).\,$

$\gamma _{n}$ также является петлей в точке 1 , и мы называем ее n -кривой. Заметим, что каждая кривая в H является 1-кривой.

Предполагать $\alpha ,\beta \in H.$ Тогда, поскольку $\alpha (0)=\beta (1)=1,{\mbox{ the f-product }}\alpha \cdot \beta =\beta +\alpha -e$.

Пример 1: Произведение астроиды с n -кривой единичного круга

Возьмем u — единичный круг с центром в начале координат и α — астроиду . n определяется -кривая u выражением:

$u_{n}(t)=\cos(2\pi nt)+i\sin(2\pi nt)\,$

и астроид

$\alpha (t)=\cos ^{3}(2\pi t)+i\sin ^{3}(2\pi t),0\leq t\leq 1$

Параметрические уравнения их произведения $\alpha \cdot u_{n}$ являются

$x=\cos ^{3}(2\pi t)+\cos(2\pi nt)-1,$

$y=\sin ^{3}(2\pi t)+\sin(2\pi nt)$

См. рисунок.

Поскольку оба $\alpha {\mbox{ and }}u_{n}$ являются циклами в 1, как и произведение.

n -кривая с $N=53$

Анимация n -кривой для значений n от 0 до 50

Пример 2. Произведение единичного круга и его n -кривой.

Единичный круг - это

$u(t)=\cos(2\pi t)+i\sin(2\pi t)\,$

и ее n -кривая равна

$u_{n}(t)=\cos(2\pi nt)+i\sin(2\pi nt)\,$

Параметрические уравнения их произведения

$u\cdot u_{n}$

являются

$x=\cos(2\pi nt)+\cos(2\pi t)-1,$

$y=\sin(2\pi nt)+\sin(2\pi t)$

См. рисунок.

Пример 3: n- кривая Родонеи минус кривая Родонеи

Возьмем кривую Родонеи.

$r=\cos(3\theta )$

Если $\rho$ обозначает кривую,

$\rho (t)=\cos(6\pi t)[\cos(2\pi t)+i\sin(2\pi t)],0\leq t\leq 1$

Параметрические уравнения $\rho _{n}-\rho$ являются

$x=\cos(6\pi nt)\cos(2\pi nt)-\cos(6\pi t)\cos(2\pi t),$

$y=\cos(6\pi nt)\sin(2\pi nt)-\cos(6\pi t)\sin(2\pi t),0\leq t\leq 1$

n - Изгиб

Если $\gamma \in H$, то, как уже говорилось выше, n -кривая $\gamma _{n}{\mbox{ also }}\in H$. Следовательно, отображение $\alpha \to \gamma _{n}^{-1}\cdot \alpha \cdot \gamma _{n}$ является внутренним автоморфизмом группы G. Распространим это отображение на все C [0, 1], обозначим его через $\phi _{\gamma _{n},e}$ и назовем его n- изогнутым с γ. Можно убедиться, что

$\phi _{\gamma _{n},e}(\alpha )=\alpha +[\alpha (1)-\alpha (0)](\gamma _{n}-1)e.\$

Эта новая кривая имеет те же начальную и конечную точки, что и α.

Пример 1 n -изгиба

Обозначим через ρ кривую Родонеи $r=\cos(2\theta )$, который представляет собой петлю в точке 1. Его параметрические уравнения:

$x=\cos(4\pi t)\cos(2\pi t),$

$y=\cos(4\pi t)\sin(2\pi t),0\leq t\leq 1$

С помощью петли ρ мы изогнем косинусоидальную кривую

$c(t)=2\pi t+i\cos(2\pi t),\quad 0\leq t\leq 1.\,$

Кривая $\phi _{\rho _{n},e}(c)$ имеет параметрические уравнения

$x=2\pi [t-1+\cos(4\pi nt)\cos(2\pi nt)],\quad y=\cos(2\pi t)+2\pi \cos(4\pi nt)\sin(2\pi nt)$

См. рисунок.

Это кривая, которая начинается в точке (0, 1) и заканчивается в (2π, 1).

Обратите внимание, что кривая начинается с косинусоиды при N =0. Обратите внимание, что параметрическое уравнение было изменено, чтобы центрировать кривую в начале координат.

Пример 2 n -изгиба

Пусть χ обозначает косинусную кривую

$\chi (t)=2\pi t+i\cos(2\pi t),0\leq t\leq 1$

С другой кривой Родонеи

$\rho =\cos(3\theta )$

мы изогнем косинусоидальную кривую.

Кривую родонеи можно также представить как

$\rho (t)=\cos(6\pi t)[\cos(2\pi t)+i\sin(2\pi t)],0\leq t\leq 1$

Кривая $\phi _{\rho _{n},e}(\chi )$ имеет параметрические уравнения

$x=2\pi t+2\pi [\cos(6\pi nt)\cos(2\pi nt)-1],$

$y=\cos(2\pi t)+2\pi \cos(6\pi nt)\sin(2\pi nt),0\leq t\leq 1$

См. рисунок для $n=15$.

Обобщенная n -кривая

В СТА C [0, 1] кривых вместо е возьмем произвольную кривую $\beta$, цикл в 1. Это оправдано, поскольку

$L_{1}(\beta )=L_{2}(\beta )=1$

Тогда для кривой γ в C [0, 1]

$\gamma ^{*}=(\gamma (0)+\gamma (1))\beta -\gamma$

и

$\gamma ^{-1}={\frac {\gamma ^{*}}{\gamma (0)\gamma (1)}}.$

Если $\alpha \in H$, отображение

$\phi _{\alpha _{n},\beta }$

данный

$\phi _{\alpha _{n},\beta }(\gamma )=\alpha _{n}^{-1}\cdot \gamma \cdot \alpha _{n}$

является n -кривой. Мы получаем формулу

$\phi _{\alpha _{n},\beta }(\gamma )=\gamma +[\gamma (1)-\gamma (0)](\alpha _{n}-\beta ).$

Таким образом, учитывая любые две петли $\alpha$ и $\beta$ в 1 мы получаем преобразование кривой

$\gamma$ заданной по приведенной выше формуле.

Это мы будем называть обобщенной n -кривой.

Пример 1

Давайте возьмем $\alpha$ и $\beta$ как единичный круг ``u.'' и $\gamma$ как косинус

$\gamma (t)=4\pi t+i\cos(4\pi t)0\leq t\leq 1$

Обратите внимание, что $\gamma (1)-\gamma (0)=4\pi$

Для преобразованной кривой $n=40$, см. рисунок.

Преобразованная кривая $\phi _{u_{n},u}(\gamma )$ имеет параметрические уравнения

Пример 2

Обозначим кривую Кривое Яйцо через $\eta$ чье полярное уравнение

$r=\cos ^{3}\theta +\sin ^{3}\theta$

Его параметрические уравнения:

$x=\cos(2\pi t)(\cos ^{3}2\pi t+\sin ^{3}2\pi t),$

$y=\sin(2\pi t)(\cos ^{3}2\pi t+\sin ^{3}2\pi t)$

Давайте возьмем $\alpha =\eta$ и $\beta =u,$

где $u$ является единичным кругом.

спираль n -изогнутая Архимеда имеет параметрические уравнения

$x=2\pi t\cos(2\pi t)+2\pi [(\cos ^{3}2\pi nt+\sin ^{3}2\pi nt)\cos(2\pi nt)-\cos(2\pi t)],$

$y=2\pi t\sin(2\pi t)+2\pi [(\cos ^{3}2\pi nt)+\sin ^{3}2\pi nt)\sin(2\pi nt)-\sin(2\pi t)]$

Посмотрите на фигуры, Кривое Яйцо и трансформированную Спираль. $n=20$.

Ссылки

• Себастьян Ваттаматтам, «Преобразование кривых путем n -изогнутия», в Бюллетене Математической ассоциации Кералы , Vol. 5, № 1, декабрь 2008 г.
• Себастьян Ваттаматтам, Книга красивых кривых , выражения, Коттаям, январь 2015 г. Книга красивых кривых

Внешние ссылки

• Силуроидная кривая