Kompaneyets equation

Уравнение Компанеца относится к нерелятивистскому типа Фоккера-Планка для кинетическому уравнению плотности числа фотонов , с помощью которого фотоны взаимодействуют с электронным газом посредством комптоновского рассеяния , впервые полученному Александром Компанецем в 1949 году и опубликованному в 1957 году после рассекречивания. Уравнение Компанеца описывает, как начальное распределение фотонов релаксирует к равновесному распределению Бозе – Эйнштейна . Комапанеец отметил, что поле излучения само по себе не может достичь равновесного распределения, поскольку уравнения Максвелла линейны, но ему необходимо обмениваться энергией с электронным газом. Уравнение Компанецца использовано в качестве основы для анализа эффекта Сюняева–Зельдовича .

Математическое описание

Рассмотрим нерелятивистскую электронную ванну с равновесной температурой. $T_{e}$, то есть, $k_{B}T_{e}\ll m_{e}c^{2}$, где $m_{e}$ – масса электрона. Пусть имеется поле низкочастотного излучения, удовлетворяющее приближению мягких фотонов, т.е. $\hbar \omega \ll m_{e}c^{2}$ где $\omega$ — частота фотонов. Тогда обмен энергией при любом столкновении фотона и электрона будет мал. Предполагая однородность и изотропность и разлагая интеграл столкновений уравнения Больцмана с точки зрения малого энергообмена, получаем уравнение Компанеца.

Уравнение Компанецца для плотности числа фотонов $n(\omega ,t)$ читает

${\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {\sigma _{T}n_{e}\hbar }{m_{e}c}}{\frac {1}{\omega ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left[\omega ^{4}\left({\frac {k_{B}T_{e}}{\hbar }}{\frac {\partial n}{\partial \omega }}+n^{2}+n\right)\right]$

где $\sigma _{T}$ полное томсоновское сечение и $n_{e}$ – плотность электронов; $\lambda _{e}=1/(n_{e}\sigma _{T})$ — это диапазон Комптона или средняя длина свободного пробега рассеяния. Как видно, уравнение можно записать в виде уравнения неразрывности

${\frac {\partial n}{\partial t}}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \omega }}(\omega ^{2}j)=0,\quad j=-{\frac {\sigma _{T}n_{e}\hbar }{m_{e}c}}\omega ^{2}\left({\frac {k_{B}T_{e}}{\hbar }}{\frac {\partial n}{\partial \omega }}+n^{2}+n\right).$

Если мы введем масштабирование

$\tau ={\frac {\sigma _{T}n_{e}k_{B}T_{e}}{m_{e}c}}t,\quad x={\frac {\hbar \omega }{k_{B}T_{e}}}$

уравнение можно привести к виду

${\frac {\partial n}{\partial \tau }}={\frac {1}{x^{2}}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left[x^{4}\left({\frac {\partial n}{\partial x}}+n^{2}+n\right)\right].$

Уравнение Компанеца сохраняет число фотонов

$N={\frac {Vk_{B}^{3}T_{e}^{3}}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }n\,x^{2}dx$

где $V$ представляет собой достаточно большой объем, поскольку обмен энергией между фотоном и электроном невелик. Кроме того, равновесное распределение уравнения Компанецца представляет собой распределение Бозе–Эйнштейна для фотонного газа:

$n_{\mathrm {eq} }={\frac {1}{e^{x}-1}}.$