Теорема о кольце

В математике теорема о кольце (ранее называвшаяся гипотезой о кольце ) грубо утверждает, что область между двумя сферами с хорошим поведением является кольцом . Она тесно связана с гипотезой о стабильном гомеоморфизме (теперь доказанной), которая утверждает, что каждый сохраняющий ориентацию гомеоморфизм евклидова пространства стабилен.

Заявление

Если S и T являются топологическими сферами в евклидовом пространстве, причем S содержится в T , то, вообще говоря, неверно, что область между ними является кольцом из-за существования диких сфер в размерности не менее 3. Таким образом, теорема о кольце Необходимо указать, чтобы исключить эти примеры, добавив некоторые условия, гарантирующие, что S и T ведут себя хорошо. Есть несколько способов сделать это.

Теорема о кольце утверждает, что если какой-либо гомеоморфизм h группы R ^н в себя отображает единичный шар B в свою внутреннюю часть, то B − h (interior( B )) гомеоморфен кольцу S ^{п -1}×[0,1].

История доказательств

Теорема о кольце тривиальна в размерностях 0 и 1. Она была доказана в размерности 2 Радо (1924) , в размерности 3 Мойзе (1952) , в размерности 4 Куинном (1982) и в размерностях не менее 5 Кирби ( 1969) .

Трюк с Тором

Трюк с тором Робиона Кирби - это метод доказательства, использующий погружение проколотого тора. $\mathbb {T} ^{n}-\mathbb {D} ^{n}$ в $\mathbb {R} ^{n}$ , где затем гладкие конструкции можно оттянуть назад по погружению и поднять на крышки.Трюк с тором используется Кирби в доказательстве теоремы о кольце в измерениях. $n\geq 5$ .Он также использовался в дальнейших исследованиях топологических многообразий с Лораном К. Зибенманном. ^[1]

Вот список некоторых дальнейших применений трюка с тором, появившихся в литературе:

Доказательство существования и единственности (с точностью до изотопии) гладких структур на поверхностях. ^[2]
Доказательство существования и единственности (с точностью до изотопии) структур PL на 3-многообразиях. ^[3]

Гипотеза стабильного гомеоморфизма

Гомеоморфизм R ^н называется стабильным , если он представляет собой композицию (конечного семейства) гомеоморфизмов, каждый из которых является единицей на некотором непустом открытом множестве.

Гипотеза стабильного гомеоморфизма утверждает, что каждый сохраняющий ориентацию гомеоморфизм R ^н является стабильным. Браун и Глюк (1964) ранее показали, что гипотеза о стабильном гомеоморфизме эквивалентна гипотезе о кольце, поэтому она верна.

Ссылки

^ Кирби, Робион С.; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основополагающие очерки топологических многообразий, сглаживаний и триангуляций (PDF) . Анналы математических исследований. Том. 88. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08191-3 . МР 0645390 .
^ Хэтчер, Аллен (12 декабря 2013 г.). «Трюк с тором Кирби для поверхностей». arXiv : 1312.3518 [ math.GT ].
^ Гамильтон, AJS (1976). «Триангуляция трехмерных многообразий». Ежеквартальный математический журнал . 27 (1): 63–70. CiteSeerX 10.1.1.643.6939 . дои : 10.1093/qmath/27.1.63 .

Браун, Мортон; Глюк, Герман (1964), «Стабильные структуры на многообразиях. II. Стабильные многообразия», Annals of Mathematics , Second Series, 79 (1): 18–44, doi : 10.2307/1970481 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970482 , МР 0158383
Эдвардс, Роберт Д. (1984), «Решение гипотезы о 4-мерном кольце (по Фрэнку Куинну)», Теория четырех многообразий (Дарем, Нью-Хэмпшир, 1982) , Contemp. Матем., вып. 35, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Soc., стр. 211–264, doi : 10.1090/conm/035/780581 , ISBN. 9780821850336 , МР 0780581
Кирби, Робион К. (1969), «Стабильные гомеоморфизмы и гипотеза кольца», Annals of Mathematics , Second Series, 89 (3): 575–582, doi : 10.2307/1970652 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970652 , MR 0242165
Мойс, Эдвин Э. (1952), «Аффинные структуры в трехмерных многообразиях. V. Теорема триангуляции и Hauptvermutung», Annals of Mathematics , Second Series, 56 (1): 96–114, doi : 10.2307/1969769 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1969769 , MR 0048805
Куинн, Фрэнк (1982), «Концы карт. III. Измерения 4 и 5» , Журнал дифференциальной геометрии , 17 (3): 503–521, doi : 10.4310/jdg/1214437139 , ISSN 0022-040X , MR 0679069
Радо, Т. (1924), «О концепции римановой поверхности», Acta Univ. Сегед , 2 : 101–121.

Дальнейшее чтение

[1] Кирби, Робион С.; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основополагающие очерки топологических многообразий, сглаживаний и триангуляций (PDF) . Анналы математических исследований. Том. 88. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08191-3 . МР 0645390 .

[2] Хэтчер, Аллен (12 декабря 2013 г.). «Трюк с тором Кирби для поверхностей». arXiv : 1312.3518 [ math.GT ].

[3] Гамильтон, AJS (1976). «Триангуляция трехмерных многообразий». Ежеквартальный математический журнал . 27 (1): 63–70. CiteSeerX 10.1.1.643.6939 . дои : 10.1093/qmath/27.1.63 .

[1]

[2]

[3]