Оценка переменной плотности ядра

В статистике адаптивная . оценка плотности ядра или оценка плотности ядра с «переменной полосой пропускания» — это форма оценки плотности ядра , в которой размер ядер, используемых в оценке, варьируется в зависимости от местоположения образцов или местоположения контрольной точки.Это особенно эффективный метод, когда пространство выборки многомерно.

Обоснование

Учитывая набор образцов, $\lbrace {\vec {x}}_{i}\rbrace$, мы хотим оценитьплотность, $P({\vec {x}})$, на контрольной точке, ${\vec {x}}$:

$P({\vec {x}})\approx {\frac {W}{nh^{D}}}$

$W=\sum _{i=1}^{n}w_{i}$

$w_{i}=K\left({\frac {{\vec {x}}-{\vec {x}}_{i}}{h}}\right)$

где n — количество выборок, K — «ядро» , h — его ширина, а D — количество измерений в ${\vec {x}}$.Ядро можно рассматривать как простой линейный фильтр .

Использование фиксированной ширины фильтра может означать, что в регионах с низкой плотностью все образцыпопадут в хвосты фильтра с очень низким весом, а области с высокимплотность обнаружит избыточное количество образцов в центральной области с взвешиваниемблизко к единице. Чтобы решить эту проблему, мы варьируем ширину ядра в разныхобласти выборочного пространства. Есть два метода сделать это: баллонная оценка и точечная оценка.В баллонной оценке ширина ядра варьируется в зависимости от местоположения. тестовой точки. В поточечной оценке ширина ядра варьируется в зависимости ото месте образца.

Для многомерных оценок параметр h можно обобщить доразличаются не только размер, но и форма ядра. Этот более сложный подходздесь не будет рассмотрено.

Баллонные оценщики

Распространенный метод изменения ширины ядра — сделать ее обратно пропорциональной плотности в контрольной точке:

$h={\frac {k}{\left[nP({\vec {x}})\right]^{1/D}}}$

где k — константа. Если мы заменим оцененную PDF и примем функцию ядра Гаусса ,мы можем показать, что W является константой:

$W=k^{D}(2\pi )^{D/2}$

Аналогичный вывод справедлив для любого ядра, нормализующая функция которого имеет порядок h ^Д , хотя и с другим постоянным множителем вместо (2 π) ^Д/2 срок. Это дает обобщение алгоритма k-ближайшего соседа .То есть универсальная функция ядра будет возвращать Техника КНН.

Ошибка состоит из двух компонентов: фактор дисперсии и фактор смещения. Дисперсия определяется как:

$e_{1}={\frac {P\int K^{2}}{nh^{D}}}$.

Член смещения находится путем оценки аппроксимированной функции в пределе как ядроширина становится намного больше, чем расстояние между образцами. При использовании расширения Тейлора для реальной функции член смещения исключается:

$e_{2}={\frac {h^{2}}{n}}\nabla ^{2}P$

Таким образом, можно получить оптимальную ширину ядра, которая минимизирует ошибку каждой оценки.

Использование для статистической классификации

Метод особенно эффективен при применении к статистической классификации .Мы можем действовать двумя способами: первый — вычислить PDF-файлыкаждый класс отдельно, используя разные параметры пропускной способности, а затем сравните их, как у Тейлора. В качестве альтернативы мы можем разделить сумму в зависимости от класса каждого образца:

$P(j,{\vec {x}})\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i=1,c_{i}=j}^{n}w_{i}$

где c _i — класс i-го образца .Класс контрольной точки может быть оценен через максимальное правдоподобие .

Внешние ссылки

• akde1d.m — m-файл Matlab для одномерной адаптивной оценки плотности ядра.
• libAGF — библиотека C++ для многомерной адаптивной оценки плотности ядра.
• akde.m — функция Matlab для многомерной (многомерной) оценки плотности переменных ядра.