Вычислимая действительная функция

В математической логике , особенно в теории вычислимости , функция $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , секвенциально вычислима если для любой вычислимой последовательности $\{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ действительных чисел , последовательность $\{f(x_{i})\}_{i=1}^{\infty }$ также вычислимо .

Функция $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ эффективно равномерно непрерывен, если существует рекурсивная функция $d\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ такое, что если

$|x-y|<{1 \over d(n)}$

затем

$|f(x)-f(y)|<{1 \over n}$

является Действительная функция вычислимой , если она одновременно вычислима последовательно и эффективно равномерно непрерывна.

Эти определения могут быть обобщены на функции более чем одной переменной или на функции, определенные только на подмножестве переменных. $\mathbb {R} ^{n}.$ Обобщения последних двух нет необходимости повторять. Подходящим обобщением первого определения является:

Позволять $D$ быть подмножеством $\mathbb {R} ^{n}.$ Функция $f\colon D\to \mathbb {R}$ , последовательно вычислимо если для любого $n$-туплет $\left(\{x_{i\,1}\}_{i=1}^{\infty },\ldots \{x_{i\,n}\}_{i=1}^{\infty }\right)$ вычислимых последовательностей действительных чисел таких, что

$(\forall i)\quad (x_{i\,1},\ldots x_{i\,n})\in D\qquad ,$

последовательность $\{f(x_{i})\}_{i=1}^{\infty }$ также вычислимо.

Эта статья включает в себя материал из функции Computable Real на PlanetMath , которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .