График непрерывной функции

В математике и, в частности, в теории игр , функция является непрерывной по графику, если она демонстрирует следующие свойства. Эта концепция была первоначально определена Партхой Дасгуптой и Эриком Маскином в 1986 году и представляет собой версию непрерывности , которая находит применение при изучении непрерывных игр .

Обозначения и предварительные сведения

Рассмотрим игру с $N$ агенты с агентом $i$ иметь стратегию $A_{i}\subseteq \mathbb {R}$; писать $\mathbf {a}$ для N-кортежа действий (т.е. $\mathbf {a} \in \prod _{j=1}^{N}A_{j}$) и $\mathbf {a} _{-i}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{N})$ как вектор действий всех агентов, кроме агента $i$.

Позволять $U_{i}:A_{i}\longrightarrow \mathbb {R}$ быть функцией выигрыша для агента $i$.

Игра как определяется $[(A_{i},U_{i});i=1,\ldots ,N]$.

Определение

Функция $U_{i}:A\longrightarrow \mathbb {R}$ является графом непрерывным, если для всех $\mathbf {a} \in A$ существует функция $F_{i}:A_{-i}\longrightarrow A_{i}$ такой, что $U_{i}(F_{i}(\mathbf {a} _{-i}),\mathbf {a} _{-i})$ является непрерывным в $\mathbf {a} _{-i}$.

Дасгупта и Маскин назвали это свойство «непрерывностью графа», потому что, если построить график выигрыша игрока как функции его собственной стратегии (с сохранением фиксированных стратегий других игроков), то в результате получится непрерывная по графику функция выигрыша. постоянно меняются по мере того, как один меняет стратегии других игроков.

Свойство интересно ввиду следующей теоремы.

Если для $1\leq i\leq N$, $A_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ непусто, выпукло и компактно ; и если $U_{i}:A\longrightarrow \mathbb {R}$ является квазивогнутым в $a_{i}$, верхний полунепрерывный в $\mathbf {a}$, и граф непрерывен, то игра $[(A_{i},U_{i});i=1,\ldots ,N]$ обладает чистой стратегией равновесия Нэша .

Ссылки

• Парта Дасгупта и Эрик Маскин 1986. «Существование равновесия в прерывистых экономических играх, I: теория». Обзор экономических исследований , 53(1):1–26.