Фазовая автоподстройка заряда с зарядовым насосом

Фазовая автоподстройка частоты с зарядовой накачкой (CP-PLL) представляет собой модификацию фазовой автоподстройки частоты с фазочастотными детекторами и сигналами прямоугольной формы. ^[1] CP-PLL позволяет быстро фиксировать фазу входящего сигнала, обеспечивая низкую фазовую ошибку в устойчивом состоянии. ^[2]

Фазочастотный детектор (PFD)

Фазочастотный детектор (PFD) срабатывает по задним фронтам опорного (Ref) и управляемого (VCO) сигналов. Выходной сигнал PFD $i(t)$ может иметь только три состояния: 0, $+I_{p}$ , и $-I_{p}$ . Задний фронт опорного сигнала заставляет PFD переключиться в более высокое состояние. если он уже не находится в состоянии $+I_{p}$ . Задний фронт сигнала ГУН заставляет PFD переключиться в более низкое состояние. если он уже не находится в состоянии $-I_{p}$ . Если оба задних фронта возникают одновременно, PFD переключается на ноль.

Математические модели CP-PLL

Первая линейная математическая модель CP-PLL второго порядка была предложена Ф. Гарднером в 1980 году. ^[2] Нелинейная модель без перегрузки ГУН была предложена М. ван Паэмелем в 1994 году. ^[3] и затем уточнено Н. Кузнецовым с соавт. в 2019 году. ^[4] Выведена замкнутая математическая модель CP-PLL с учетом перегрузки ГУН. ^[5]

Эти математические модели CP-PLL позволяют получить аналитические оценки диапазона удержания. (максимальный диапазон периода входного сигнала так что существует заблокированное состояние, в котором ГУН не перегружен) и диапазон втягивания (максимальный диапазон периода входного сигнала в пределах диапазона удержания, так что для любого начального состояния CP-PLL приобретает заблокированное состояние). ^[6]

Линейная модель CP-PLL второго порядка с непрерывным временем и гипотеза Гарднера

Анализ Гарднера основан на следующем приближении: ^[2] интервал времени, на котором PFD имеет ненулевое состояние на каждом периоде опорного сигнала, равен

t_{p}=|\theta _{e}|/\omega _{\rm {ref}},\ \theta _{e}=\theta _{\rm {ref}}-\theta _{\rm {vco}}.

Тогда усредненный выход PFD зарядового насоса равен

i_{d}=I_{p}\theta _{e}/2\pi

с соответствующей передаточной функцией

I_{d}(s)=I_{p}\theta _{e}(s)/2\pi

Использование функции передачи фильтра $F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}$ и передаточная функция VCO $\theta _{\rm {vco}}(s)=K_{\rm {vco}}I_{d}(s)F(s)/s$ получается линейная аппроксимированная средняя модель Гарднера CP-PLL второго порядка.

{\frac {\theta _{e}(s)}{\theta _{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K_{\rm {vco}}I_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.

В 1980 году Ф. Гарднер , основываясь на приведенных выше рассуждениях, предположил, что переходный отклик практических систем ФАПЧ с зарядовой накачкой может быть почти таким же, как отклик эквивалентной классической ФАПЧ. ^[2]^: 1856 ( Гипотеза Гарднера о CP-PLL ^[7]). Следуя результатам Гарднера, по аналогии с гипотезой Игана о диапазоне втягивания APLL типа 2 , Амр М. Фахим предположил в своей книге ^[8]^: 6 что для того, чтобы иметь бесконечный диапазон захвата (захвата), необходимо использовать активный фильтр для контурного фильтра в CP-PLL (гипотеза Фахима-Игана о диапазоне захвата CP-PLL типа II).

Нелинейная модель CP-PLL второго порядка с непрерывным временем

Без ограничения общности предполагается, что задние фронты сигналов ГУН и Ref возникают когда соответствующая фаза достигает целого числа. Пусть момент времени первого заднего фронта опорного сигнала определяется как $t=0$ . Состояние ПФД $i(0)$ определяется исходным состоянием PFD $i(0-)$ , начальные фазовые сдвиги ГУН $\theta _{vco}(0)$ и ссылка $\theta _{ref}(0)$ сигналы.

Связь между входным током $i(t)$ и выходное напряжение $v_{F}(t)$ для пропорционально интегрирующий (идеальный ПИ) фильтр на основе резистора и конденсатора работает следующим образом:

{\begin{aligned}v_{F}(t)=v_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}

где $R>0$ это сопротивление, $C>0$ это емкость, и $v_{c}(t)$ это заряд конденсатора. Сигнал управления $v_{F}(t)$ регулирует частоту VCO:

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}v_{F}(t),\end{aligned}}

где $\omega _{vco}^{\text{free}}$ - частота свободного хода (покоя) ГУН (т.е. для $v_{F}(t)\equiv 0$ ), $K_{vco}$ - усиление ГУН (чувствительность), и $\theta _{vco}(t)$ это фаза VCO. Наконец, нелинейная математическая модель CP-PLL с непрерывным временем выглядит следующим образом.

{\begin{aligned}{\dot {v}}_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}(Ri(t)+v_{c}(t))\end{aligned}}

со следующей разрывной кусочно-постоянной нелинейностью

i(t)=i{\big (}i(t-),\theta _{ref}(t),\theta _{vco}(t){\big )}

и начальные условия ${\big (}v_{c}(0),\theta _{vco}(0){\big )}$ . Эта модель представляет собой нелинейную, неавтономную, разрывную, переключающую систему.

Нелинейная модель дискретного времени CP-PLL второго порядка

Частота опорного сигнала предполагается постоянной: $\theta _{ref}(t)=\omega _{ref}t={\frac {t}{T_{ref}}},$ где $T_{ref}$ , $\omega _{ref}$ и $\theta _{ref}(t)$ – период, частота и фаза опорного сигнала. Позволять $t_{0}=0$ . Обозначим через $t_{0}^{\rm {middle}}$ первый момент времени, когда выходной сигнал PFD становится нулевым (если $i(0)=0$ , затем $t_{0}^{\rm {middle}}=0$ ) и по $t_{1}$ первый задний фронт VCO или Ref. Далее соответствующие возрастающие последовательности $\{t_{k}\}$ и $\{t_{k}^{\rm {middle}}\}$ для $k=0,1,2...$ определены. Позволять $t_{k}<t_{k}^{\rm {middle}}$ . Тогда для $t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})$ тот ${\text{sign}}(i(t))$ является ненулевой константой ( $\pm 1$ ). Обозначим через $\tau _{k}$ ширина импульса PFD (длина временного интервала, где выходной сигнал PFD — ненулевая константа), умноженный на знак выходного сигнала PFD: т.е. $\tau _{k}=(t_{k}^{\rm {middle}}-t_{k}){\text{sign}}(i(t))$ для $t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})$ и $\tau _{k}=0$ для $t_{k}=t_{k}^{\rm {middle}}$ . Если задний фронт VCO достигает заднего фронта Ref, затем $\tau _{k}<0$ и в противоположном случае мы имеем $\tau _{k}>0$ , то есть $\tau _{k}$ показывает, насколько один сигнал отстает от другого. Нулевой выход PFD $i(t)\equiv 0$ на интервале $(t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})$ : $v_{F}(t)\equiv v_{k}$ для $t\in [t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})$ . Преобразование переменных ^[9] $(\tau _{k},v_{k})$ к $p_{k}={\frac {\tau _{k}}{T_{\rm {ref}}}},u_{k}=T_{\rm {ref}}(\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k})-1,$ позволяет сократить количество параметров до двух: $\alpha =K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.$ Здесь $p_{k}$ представляет собой нормированный фазовый сдвиг и $u_{k}+1$ представляет собой отношение частоты ГУН $\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k}$ на опорную частоту ${\frac {1}{T_{\rm {ref}}}}$ . Наконец, модель CP-PLL второго порядка с дискретным временем без перегрузки ГУН. ^[4]^[6]

{\begin{aligned}&u_{k+1}=u_{k}+2\beta p_{k+1},\\&p_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u_{k}+1}}-1+(p_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}>0,\\l_{k}-1,\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}

где

{\begin{aligned}c_{k}=(1-(p_{k}{\text{ mod }}1))(u_{k}+1)-1,S_{l_{k}}=-(u_{k}-\alpha +1)p_{k}+\beta p_{k}^{2},l_{k}={\frac {1-(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)}{u_{k}+1}},d_{k}=(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)+u_{k}.\end{aligned}}

Эта модель дискретного времени имеет единственное устойчивое состояние при $(u_{k}=0,p_{k}=0)$ и позволяет оценить диапазоны удержания и втягивания. ^[6]

Если ГУН перегружен, т.е. ${\dot {\theta }}_{\rm {vco}}(t)$ равен нулю, или что то же самое: $(p_{k}>0,u_{k}<2\beta p_{k}-1)$ или $(p_{k}<0,u_{k}<\alpha -1)$ , тогда дополнительные случаи динамики CP-PLL должны быть приняты во внимание. ^[5] При любых параметрах перегрузка ГУН может возникнуть при достаточно большой разнице частот между ГУН и опорным сигналами. На практике следует избегать перегрузки ГУН.

Нелинейные модели CP-PLL высокого порядка

Вывод нелинейных математических моделей CP-PLL высокого порядка приводит к трансцендентным фазовым уравнениям, которые не могут быть решены аналитически и требуют численных подходов, таких как классический метод фиксированной точки или подход Ньютона-Рафсона. ^[10]

Ссылки

^ США US3714463A , Джон М. Лаун, «Цифровой частотный и/или фазовый детектор зарядовой накачки», опубликовано 30 января 1973 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ф. Гарднер (1980). «Петли фазовой автоподстройки заряда-насоса». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 28 (11): 1849–1858. Бибкод : 1980ITCom..28.1849G . дои : 10.1109/TCOM.1980.1094619 .
^ М. ван Паемель (1994). «Анализ схемы зарядового насоса: новая модель». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 42 (7): 2490–2498. дои : 10.1109/26.297861 .
^ Jump up to: ^а ^б Н. Кузнецов, М. Юлдашев, Р. Юлдашев, М. Благов, Е. Кудряшова, О. Кузнецова и Т. Мокаев (2019). «Комментарии к математической модели фазовой автоподстройки частоты зарядового насоса ван Паэмеля» (PDF) . Дифференциальные уравнения и процессы управления . 1 : 109–120. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б Н. Кузнецов, М. Юлдашев, Р. Юлдашев, М. Благов, Е. Кудряшова, О. Кузнецова, Т. Мокаев (2020). «Фазовая автоподстройка заряда накачки с фазочастотным детектором: математическая модель замкнутой формы». 1901 (1468). arXiv : 1901.01468 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б ^с Н.В. Кузнецов, А.С. Матвеев, М.В. Юлдашев, Р.В. Юлдашев (2020). «Нелинейный анализ фазовой автоподстройки частоты зарядового насоса: диапазоны удержания и втягивания». Всемирный конгресс МФБ . arXiv : 2005.00864 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Кузнецов Н.В.; Матвеев А.С.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2021). «Нелинейный анализ системы фазовой автоподстройки частоты с зарядовым насосом: диапазоны удержания и втягивания» . Транзакции IEEE в схемах и системах I: Регулярные статьи . 68 (10): 4049–4061. arXiv : 2005.00864 . дои : 10.1109/TCSI.2021.3101529 .
^ Фахим, Амр М. (2005). Тактовые генераторы для процессоров SOC: схемы и архитектура . Бостон-Дордрехт-Лондон: Kluwer Academic Publishers.
^ П. Карран, К. Би и О. Фили (2013). «Динамика фазовой автоподстройки частоты с зарядовой накачкой» . Международный журнал теории цепей и приложений . 41 (11): 1109–1135. дои : 10.1002/cta.1814 . S2CID 3792988 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ К. Хедаят, А. Хашем, Ю. Ледюк и Г. Бенбассат (1999). «Моделирование и характеристика ФАПЧ зарядового насоса 3-го порядка: полностью управляемый событиями подход». Аналоговые интегральные схемы и обработка сигналов . 19 (1): 25–45. дои : 10.1023/А:1008326315191 . S2CID 58204942 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1] США US3714463A , Джон М. Лаун, «Цифровой частотный и/или фазовый детектор зарядовой накачки», опубликовано 30 января 1973 г.

[Gardner-1980-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ф. Гарднер (1980). «Петли фазовой автоподстройки заряда-насоса». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 28 (11): 1849–1858. Бибкод : 1980ITCom..28.1849G . дои : 10.1109/TCOM.1980.1094619 .

[Paemel-1984-3] М. ван Паемель (1994). «Анализ схемы зарядового насоса: новая модель». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 42 (7): 2490–2498. дои : 10.1109/26.297861 .

[Kuznetsov-2019-JDECP-4] Jump up to: ^а ^б Н. Кузнецов, М. Юлдашев, Р. Юлдашев, М. Благов, Е. Кудряшова, О. Кузнецова и Т. Мокаев (2019). «Комментарии к математической модели фазовой автоподстройки частоты зарядового насоса ван Паэмеля» (PDF) . Дифференциальные уравнения и процессы управления . 1 : 109–120. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[KuznetsovYYBKKM-2020-5] Jump up to: ^а ^б Н. Кузнецов, М. Юлдашев, Р. Юлдашев, М. Благов, Е. Кудряшова, О. Кузнецова, Т. Мокаев (2020). «Фазовая автоподстройка заряда накачки с фазочастотным детектором: математическая модель замкнутой формы». 1901 (1468). arXiv : 1901.01468 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[KuznetsovMYY-2020-6] Jump up to: ^а ^б ^с Н.В. Кузнецов, А.С. Матвеев, М.В. Юлдашев, Р.В. Юлдашев (2020). «Нелинейный анализ фазовой автоподстройки частоты зарядового насоса: диапазоны удержания и втягивания». Всемирный конгресс МФБ . arXiv : 2005.00864 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[2021-TCAS-KuznetsovMYY-7] Кузнецов Н.В.; Матвеев А.С.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2021). «Нелинейный анализ системы фазовой автоподстройки частоты с зарядовым насосом: диапазоны удержания и втягивания» . Транзакции IEEE в схемах и системах I: Регулярные статьи . 68 (10): 4049–4061. arXiv : 2005.00864 . дои : 10.1109/TCSI.2021.3101529 .

[2005-Fahim-8] Фахим, Амр М. (2005). Тактовые генераторы для процессоров SOC: схемы и архитектура . Бостон-Дордрехт-Лондон: Kluwer Academic Publishers.

[9] П. Карран, К. Би и О. Фили (2013). «Динамика фазовой автоподстройки частоты с зарядовой накачкой» . Международный журнал теории цепей и приложений . 41 (11): 1109–1135. дои : 10.1002/cta.1814 . S2CID 3792988 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[10] К. Хедаят, А. Хашем, Ю. Ледюк и Г. Бенбассат (1999). «Моделирование и характеристика ФАПЧ зарядового насоса 3-го порядка: полностью управляемый событиями подход». Аналоговые интегральные схемы и обработка сигналов . 19 (1): 25–45. дои : 10.1023/А:1008326315191 . S2CID 58204942 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]