Теорема о постоянной хорде

постоянная длина хорды: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

длина постоянного диаметра: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

Теорема о постоянной хорде — это утверждение элементарной геометрии о свойстве некоторых хорд в двух пересекающихся окружностях .

Круги $k_{1}$ и $k_{2}$ пересекаться в точках $P$ и $Q$. $Z_{1}$ это произвольная точка на $k_{1}$ отличающийся от $P$ и $Q$. Линии $Z_{1}P$ и $Z_{1}Q$ пересечь круг $k_{2}$ в $P_{1}$ и $Q_{1}$. Теорема о постоянной хорде тогда утверждает, что длина хорды $P_{1}Q_{1}$ в $k_{2}$ не зависит от местоположения $Z_{1}$ на $k_{1}$, другими словами, длина постоянна.

Теорема остается верной, если $Z_{1}$ совпадает с $P$ или $Q$, при условии замены неопределенной строки $Z_{1}P$ или $Z_{1}Q$ по касательной к $k_{1}$ в $Z_{1}$.

Аналогичная теорема существует в трех измерениях для пересечения двух сфер . Сферы $k_{1}$ и $k_{2}$ пересекаться в круге $k_{s}$. $Z_{1}$ — произвольная точка на поверхности первой сферы $k_{1}$, то есть не на окружности пересечения $k_{s}$. Расширенный конус, созданный $k_{s}$ и $Z_{1}$ пересекает вторую сферу $k_{2}$ в кругу. Длина диаметра этого круга постоянна, то есть не зависит от расположения $Z_{1}$ на $k_{1}$.

Натан Альтшиллер Корт описал теорему о постоянной хорде 1925 года в статье sur deux cercles secants для бельгийского математического журнала Mathesis . Восемь лет спустя он опубликовал «О двух пересекающихся сферах» в « American Mathematical Monthly» , содержащую трехмерную версию. Позже он был включен в несколько учебников, таких как » Росса Хонсбергера и «Математические кусочки « Роджера Б. Нельсена , Доказательство без слов II» где он был дан как задача, или немецкий учебник по геометрии Mit Harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten Хальбайзена, Хунгербюлера. и Лаухли, где это было сформулировано в виде теоремы.

Ссылки

• Лоренц Хальбайзен, Норберт Хунгербюлер, Хуан Лаухли: Гармоничное отношение к коникам: жемчужины классической геометрии . Спрингер 2016, ISBN   9783662530344 , с. 16 (немецкий)
• Роджер Б. Нельсен: Доказательство без слов II . МАА, 2000, с. 29
• Росс Хонсбергер : Математические кусочки . МАА, 1979 г., ISBN   978-0883853030 , стр. 126–127
• Натан Альтшиллер Корт : О двух пересекающихся сферах. Американский математический ежемесячник, Band 40, Nr. 5, 1933, стр. 265–269 ( JSTOR )
• Натан Альтшиллер-Корт: на двух пересекающихся кругах . Матезис, Группа 39, 1925, с. 453 (английский)

Внешние ссылки

• Теорема о постоянной хорде как проблема на сайте Cut-the-knot.org