Ядерная функция для решения интегрального уравнения поверхностного радиационного обмена

В физике и технике радиационный перенос тепла от одной поверхности к другой равен разнице входящего и исходящего излучения от первой поверхности. В общем, теплообмен между поверхностями определяется температурой, излучательными свойствами поверхности и геометрией поверхностей. Соотношение теплопередачи можно записать в виде интегрального уравнения с граничными условиями, основанными на поверхностных условиях. Функции ядра могут быть полезны при аппроксимации и решении этого интегрального уравнения.

Основное уравнение

Радиационный теплообмен зависит от локальной температуры поверхности корпуса и свойств поверхностей, но не зависит от среды. Потому что среды не поглощают, не излучают и не рассеивают излучение.

Основное уравнение теплопередачи между двумя поверхностями A _i и A _j ${\begin{aligned}q(r_{i})={}&\int _{\lambda =0}^{\infty }\int _{\psi _{i}=0}^{2\pi }\int _{\theta _{i}=0}^{\frac {\pi }{2}}\varepsilon _{\lambda ,i}(\lambda ,\psi _{i},\theta _{i},r_{i})I_{b\lambda ,i}(\cos \theta _{i}\sin \theta _{i})\,d\theta _{i}\,d\psi _{i}\,d\lambda \\&-\sum _{j=1}^{N}\int _{\lambda =0}^{\infty }\rho _{\lambda ,i}(\lambda ,\psi _{r,j},\theta _{r,j},\psi _{j},\theta _{j},r_{i})I_{\lambda ,k}(\lambda ,\psi _{k},\theta _{k},r_{i}){\frac {\cos \theta _{j}\cos \theta _{k}}{|r_{k}-r_{j}|^{2}}}\,dA_{k}\end{aligned}}$ где

$\lambda$ – длина волны лучей излучения,
$I$ - интенсивность излучения,
$\varepsilon$ это излучательная способность,
$r$ это отражательная способность,
$\theta$ – угол между нормалью поверхности и направлением обмена излучения,
$\psi$ это азимутальный угол

Если поверхность корпуса аппроксимируется как серая и размытая поверхность, то приведенное выше уравнение можно записать так, как после аналитической процедуры. $q(r)+\varepsilon (r)E_{b}=\varepsilon (r)\oint K(r,r')\left[E_{b}(r')+1-{\frac {\varepsilon (r')}{\varepsilon (r)}}d\Gamma (r')\right]$ где $E_{b}$ - излучательная способность черного тела, которая определяется как функция температуры черного тела. $E_{b}(r)=\sigma T^{4}(r)$ где $\sigma$ – постоянная Стефана–Больцмана .

Функция ядра

Функции ядра предоставляют способ манипулировать данными, как если бы они были спроецированы в пространство более высокого измерения, работая с ними в исходном пространстве. Так что данные в многомерном пространстве становятся более легко разделимыми. Ядерная функция также используется в интегральном уравнении обмена радиации на поверхности. Функция ядра связана как с геометрией корпуса, так и со свойствами его поверхности. Функция ядра зависит от геометрии тела.

В приведенном выше уравнении K ( r , r′ ) — это функция ядра интеграла, которая для трехмерных задач принимает следующую форму $K(r,r')=-{\frac {n(r-r')n'(r-r')}{\pi |r-r'|^{4}}}F={\frac {\cos \theta _{r}\cos \theta _{r}'}{\pi |r-r'|^{4}}}F$ где F принимает значение единицы, когда элемент поверхности I видит элемент поверхности J , в противном случае оно равно нулю, если луч заблокирован, а θr — угол в точке r , а θr ′ в точке r ′. Параметр F зависит от геометрической конфигурации тела, поэтому функция ядра весьма нерегулярна для геометрически сложной оболочки.

Уравнение ядра для двумерной и осесимметричной геометрии

Для двумерных и осесимметричных конфигураций функция ядра может быть аналитически проинтегрирована по направлению z или θ . Интеграция функции ядра $K(r,r')=-\iint F{\frac {n(r-r')n'(r-r')}{\pi |r-r'|^{4}}}\,dz'\,dz={\frac {n(r-r')n'(r-r')}{\pi |r-r'|^{4}}}F$

Здесь n обозначает единичную нормаль элемента I при азимутальном угле φ нулевом , а n ′ обозначает единичную нормаль элемента J с любым азимутальным углом φ . Математические выражения для n и n ′ следующие: ${\begin{aligned}n&=(\cos \theta ,0,\sin \theta )\\n'&=(\cos \theta '\sin \phi ',\cos \theta '\sin \phi ',\sin \theta ')\end{aligned}}$

Подставляя эти члены в уравнение, ядерная функция переставляется через азимутальный угол φ'- $K(\phi ')={\frac {(c'+d\cos \phi ')(c''+d\cos \phi ')}{\pi (c+d\cos \phi ')^{2}}}F$ где ${\begin{aligned}c&=r_{i}^{2}+r_{j}^{2}+Z_{j}^{2}\\d&=-2r_{i}r_{j}\\c'&=Z_{j}\sin \theta -r_{i}\cos \theta \\d'&=r_{j}\cos \theta \\c''&=Z_{j}\sin \theta '+r_{j}\cos \theta '\\d''&=-r_{i}\cos \theta '\end{aligned}}$

Связь ${\frac {d\left\{\arctan \left({\sqrt {\frac {c-d}{c+d}}}\tan {\frac {\phi }{2}}\right)\right\}}{dx}}={\frac {\sqrt {c^{2}-d^{2}}}{2(c+d\cos \phi )}}$ справедливо для данного конкретного случая.

Окончательное выражение для функции ядра: ${\bar {k}}(\phi )=2\int _{0}^{\phi }k(\phi ')\,d\phi '=-{\frac {2}{\pi }}\left[A\phi +b\arctan \left({\sqrt {\frac {c-d}{c+d}}}\tan {\frac {\phi }{2}}\right)+C{\frac {\sin \phi }{c+d\cos \phi }}\right]$ где

${\begin{aligned}A&={\frac {d'd''}{d^{2}}}\\B&=2{\frac {(c^{2}-d^{2})(d'f+ed'')+cdef}{d(c^{2}-d^{2}){\sqrt {c^{2}-d^{2}}}}}\\C&={\frac {def}{d^{2}-c^{2}}}\\e&={\frac {dc'-cd'}{d}}\\f&={\frac {dc''-cd''}{d}}\end{aligned}}$

Ссылки

Роберт Сигел, Теплопередача тепловым излучением, четвертое издание
Бен К. Ли, «Разрывной конечный элемент в гидродинамике и теплопередаче»
Дж. Р. Махан Радиационная теплопередача: статистический подход, Том 1
Ричард М. Гуди Юк Лин Юнг Атмосферное излучение
К.Г. Терри Холландс «Решатель интегральных уравнений упрощенного Фредгольма и его использование при измерении теплового излучения»
Майкл Ф. Модест, радиационная теплопередача

Внешние ссылки