Альфа -бета трансформация

В электротехнике , альфа-бета ( $\alpha \beta \gamma$ ) Преобразование (также известное как преобразование Кларка )-это математическое преобразование , используемое для упрощения анализа трехфазных цепей . Концептуально это похоже на трансформацию DQ0 . Одно очень полезное применение $\alpha \beta \gamma$ Преобразование-это генерация эталонного сигнала, используемого для контроля модуляции пространственной векторной модуляции трехфазных инверторов .

История

В 1937 и 1938 годах Эдит Кларк опубликовала документы с модифицированными методами расчетов о несбалансированных трехфазных задачах, которые оказались особенно полезными. ^{[ 1 ]}

Определение

А $\alpha \beta \gamma$ Преобразование, применяемое к трехфазным токам, используемые Эдит Кларк, ^{[ 2 ]}

i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}

где $i_{abc}(t)$ это общая трехфазная последовательность тока и $i_{\alpha \beta \gamma }(t)$ соответствующая тока, заданная преобразованием $T$ Полем Обратное преобразование:

i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.

Вышеупомянутое преобразование Кларка сохраняет амплитуду электрических переменных, к которой он применяется. Действительно, рассмотрим трехфазную симметричную, прямую, текущую последовательность

{\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}

где $I$ это среднеквадратичные значения $i_{a}(t)$ , $i_{b}(t)$ , $i_{c}(t)$ и $\theta (t)$ это общий угол, изменяющийся во времени, который также может быть установлен на $\omega t$ без потери общности. Затем, подав $T$ К текущей последовательности это приводит

{\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}

где последнее уравнение содержится с тех пор, как мы рассматривали сбалансированные течения. Как показано в вышеизложенном, амплитуды токов в $\alpha \beta \gamma$ Справочная рамка то же самое в естественном эталонном кадре.

Власть инвариантная трансформация

Активные и реактивные мощности, рассчитанные в домене Кларка, с преобразованием, показанным выше, не то же самое, что вычисляются в стандартном эталонном кадре. Это происходит потому, что $T$ не унитарный . Чтобы сохранить активные и реактивные способности, вместо этого рассматривать

i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},

которая является унитарной матрицей, а обратная совпадает с ее транспонированием. ^{[ 3 ]} В этом случае амплитуды трансформированных токов не то же самое в стандартном эталонном кадре, то есть

{\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}

Наконец, обратное преобразование в этом случае

i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.

Упрощенное преобразование

Поскольку в сбалансированной системе $i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0$ и, таким образом $i_{\gamma }(t)=0$ Можно также рассмотреть упрощенное преобразование ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

{\begin{aligned}i_{\alpha \beta }(t)&={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}

что является просто исходным трансформацией Кларка с исключенным 3 -м уравнением, и

i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}

которое является соответствующим обратным преобразованием.

Геометрическая интерпретация

А $\alpha \beta \gamma$ Преобразование можно рассматривать как проекция трехфазных величин (напряжения или токов) на две стационарные оси, альфа -оси и бета -оси. Тем не менее, никакая информация не теряется, если система сбалансирована, как уравнение $I_{a}+I_{b}+I_{c}=0$ эквивалентно уравнению для $I_{\gamma }$ в преобразовании. Если система не сбалансирована, то $I_{\gamma }$ Термин будет содержать компонент ошибки проекции. Таким образом, а $I_{\gamma }$ ноль указывает на то, что система сбалансирована (и, таким образом, полностью существует в пространстве координат альфа-бета) и может быть проигнорирована для двух расчетов координат, которые работают в соответствии с этим предположением, что система сбалансирована. Это элегантность преобразования Кларка, поскольку он уменьшает тремя компоненты в систему с двумя компонентами благодаря этому предположению.

Другой способ понять это - это уравнение $I_{a}+I_{b}+I_{c}=0$ Определяет плоскость в эуклидовом три координатных пространства. Альфа-бета-координатное пространство может быть понято как два координатного пространства, определенного этой плоскостью, то есть оси альфа-бета лежат на плоскости, определенной $I_{a}+I_{b}+I_{c}=0$ .

Это также означает, что для использования преобразования Кларка необходимо убедиться, что система сбалансирована, в противном случае последующие два расчета координат будут ошибочными. Это практическое рассмотрение в приложениях, где измеряются три фазы и могут иметь ошибку измерения.

Выше показано $\alpha \beta \gamma$ Преобразование применительно к трем симметричным токам, протекающим через три обмотки, разделенные 120 физическими степенями. Трифазные токи отстают от соответствующих фазовых напряжений $\delta$ Полем А $\alpha$ - $\beta$ Ось показана с помощью $\alpha$ Ось выровена с фазой «а». Текущий вектор $I_{\alpha \beta \gamma }$ вращается с угловой скоростью $\omega$ Полем Нет $\gamma$ компонент, поскольку токи сбалансированы.

DQ 0 Transform

А $dq0$ Преобразование концептуально похожа на $\alpha \beta \gamma$ преобразование Тогда как $dq0$ Преобразование-это проекция фазовых величин на вращающуюся двухосную отслоку, $\alpha \beta \gamma$ Преобразование можно рассматривать как проекция фазовых величин на стационарную двухосную отслоку.

Смотрите также

Ссылки

^ О'Рурк, Колм Дж. (Декабрь 2019 г.). «Геометрическая интерпретация контрольных рам и преобразований: DQ0, Clarke и Park» . IEEE транзакции на преобразование энергии . 34, 4 (4): 2070–2083. Bibcode : 2019itenc..34.2070o . doi : 10.1109/tec.2019.2941175 . HDL : 1721.1/123557 . S2CID 203113468 - Via MIT Open Access.
^ WC Duesterhoeft; Макс В. Шульц; Эдит Кларк (июль 1951 г.). «Определение мгновенных токов и напряжений с помощью альфа, бета и нулевых компонентов». Сделки Американского института инженеров -электриков . 70 (2): 1248–1255. doi : 10.1109/t-aiee.1951.5060554 . ISSN 0096-3860 . S2CID 51636360 .
^ S. Chattopadhyay; М. Митра; S. Sengupta (2008). «Подход на основе площади для трехфазной оценки качества электроэнергии в плоскости Кларк» . Журнал электрических систем . 04 (1): 62 . Получено 2020-11-26 .
^ F. Tahri, A.Tahri, Eid A. Alradadi и A. Draou Senior, «Анализ и контроль передового статического компенсатора Var на основе теории мгновенной реактивной силы», представленная на Acemp, Bodrum, Turkey, 2007.
^ "Кларк преобразует" . www.mathworks.com .

Общие ссылки

CJ O'Rourke et al. «Геометрическая интерпретация контрольных рам и преобразований: DQ0, Clarke и Park», в IEEE Transactions по переоборудованию энергии, вып. 34, нет. 4, с. 2070-2083, декабрь 2019.

[1] О'Рурк, Колм Дж. (Декабрь 2019 г.). «Геометрическая интерпретация контрольных рам и преобразований: DQ0, Clarke и Park» . IEEE транзакции на преобразование энергии . 34, 4 (4): 2070–2083. Bibcode : 2019itenc..34.2070o . doi : 10.1109/tec.2019.2941175 . HDL : 1721.1/123557 . S2CID 203113468 - Via MIT Open Access.

[2] WC Duesterhoeft; Макс В. Шульц; Эдит Кларк (июль 1951 г.). «Определение мгновенных токов и напряжений с помощью альфа, бета и нулевых компонентов». Сделки Американского института инженеров -электриков . 70 (2): 1248–1255. doi : 10.1109/t-aiee.1951.5060554 . ISSN 0096-3860 . S2CID 51636360 .

[3] S. Chattopadhyay; М. Митра; S. Sengupta (2008). «Подход на основе площади для трехфазной оценки качества электроэнергии в плоскости Кларк» . Журнал электрических систем . 04 (1): 62 . Получено 2020-11-26 .

[Tahri-4] F. Tahri, A.Tahri, Eid A. Alradadi и A. Draou Senior, «Анализ и контроль передового статического компенсатора Var на основе теории мгновенной реактивной силы», представленная на Acemp, Bodrum, Turkey, 2007.

[5] "Кларк преобразует" . www.mathworks.com .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]