Соединение висмута

В математике связь Висмута $\nabla$ - это единственная связность на комплексном эрмитовом многообразии , удовлетворяющая следующим условиям:

1. Он сохраняет метрику $\nabla g=0$
2. Сохраняет сложную структуру $\nabla J=0$
3. Торсион ​ $T(X,Y)$ сжимается с метрикой, т.е. $T(X,Y,Z)=g(T(X,Y),Z)$, полностью кососимметричен .

Бисмут использовал эту связь при доказательстве формулы локального индекса для оператора Дольбо на некелеровых многообразиях . Висмутовая связь имеет приложения в теории II типа и гетеротической теории струн.

Явная конструкция выглядит следующим образом. Позволять $\langle -,-\rangle$ обозначаем спаривание двух векторов с использованием эрмитовой метрики относительно комплексной структуры, т.е. $\langle X,JY\rangle =-\langle JX,Y\rangle$. Дальше пусть $\nabla$ быть связью Леви-Чивита. Сначала определим тензор $T$ такой, что $T(Z,X,Y)=-{\frac {1}{2}}\langle Z,J(\nabla _{X}J)Y\rangle$. Этот тензор антисимметричен в первой и последней записи, т.е. новая связь $\nabla +T$ все еще сохраняет метрику. Конкретно новая связь определяется выражением $\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }-{\frac {1}{2}}J_{~\delta }^{\alpha }\nabla _{\beta }J_{~\gamma }^{\delta }$ с $\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }$ связь Леви-Чивита. Новое соединение также сохраняет сложную структуру. Однако тензор $T$ еще не полностью антисимметричен; антисимметризация приведет к тензору Нийенхейса . Обозначим антисимметризацию как $T(Z,X,Y)+{\textrm {cyc~in~}}X,Y,Z=T(Z,X,Y)+S(Z,X,Y)$, с $S$ дано явно как

$S(Z,X,Y)=-{\frac {1}{2}}\langle X,J(\nabla _{Y}J)Z\rangle -{\frac {1}{2}}\langle Y,J(\nabla _{Z}J)X\rangle .$

$S$ все еще сохраняет сложную структуру, т.е. $S(Z,X,JY)=-S(JZ,X,Y)$.

${\begin{aligned}S(Z,X,JY)+S(JZ,X,Y)&=-{\frac {1}{2}}\langle JX,{\big (}-(\nabla _{JY}J)Z-(J\nabla _{Z}J)Y+(J\nabla _{Y}J)Z+(\nabla _{JZ}J)Y{\big )}\rangle \\&=-{\frac {1}{2}}\langle JX,Re{\big (}(1-iJ)[(1+iJ)Y,(1+iJ)Z]{\big )}\rangle .\end{aligned}}$

Итак, если $J$ интегрируема, то указанный член обращается в нуль и связь

$\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+T_{~\beta \gamma }^{\alpha }+S_{~\beta \gamma }^{\alpha }.$

дает связь Висмута.