Формула Бете

Формула Бете или формула Бете-Блоха описывает среднюю потерю энергии на расстояние, пройденное быстрыми заряженными частицами ( протонами , альфа-частицами , атомарными ионами ), пересекающими материю (или, альтернативно, тормозную способность материала). Для электронов потери энергии немного отличаются из-за их небольшой массы (требующей релятивистских поправок) и их неразличимости , и поскольку они несут гораздо большие потери из- за тормозного излучения , для объяснения этого необходимо добавить условия. Быстрые заряженные частицы, движущиеся сквозь вещество, взаимодействуют с электронами атомов материала. Взаимодействие возбуждает или ионизирует атомы, что приводит к потере энергии летящей частицы.

версия Нерелятивистская была открыта Гансом Бете в 1930 году; релятивистская версия (показана ниже) была найдена им в 1932 году. Наиболее вероятная потеря энергии отличается от средней потери энергии и описывается распределением Ландау-Вавилова.

Формула

Для частицы со скоростью v , зарядом z (кратным заряду электрона) и энергией E , проходящей расстояние x в мишень с электронов плотностью n и средней энергией возбуждения I (см. ниже), релятивистская версия формулы читается в единицах СИ:

$-\left\langle {\frac {dE}{dx}}\right\rangle ={\frac {4\pi }{m_{e}c^{2}}}\cdot {\frac {nz^{2}}{\beta ^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{e}c^{2}\beta ^{2}}{I\cdot (1-\beta ^{2})}}\right)-\beta ^{2}\right]$ ( 1 )

где c — скорость света и ε _{0 —} вакуума диэлектрическая проницаемость , $\beta ={\frac {v}{c}}$, e и m _{e —} заряд электрона и масса покоя соответственно.

Stopping Power of Aluminum for Protons versus proton energy, and the Bethe formula without (red) and with corrections (blue)

Здесь электронную плотность материала можно рассчитать по формуле

$n={\frac {N_{A}\cdot Z\cdot \rho }{A\cdot M_{u}}}\,,$

где ρ — плотность материала, Z — его атомный номер , A — его относительная атомная масса , NA _— и число Авогадро M u _— массы константа молярной .

На рисунке справа маленькие кружки — экспериментальные результаты, полученные в результате измерений различных авторов, а красная кривая — формула Бете. Очевидно, теория Бете очень хорошо согласуется с экспериментом при высоких энергиях. Согласие становится еще лучше, если внести поправки (см. ниже).

При малых энергиях, т. е. при малых скоростях частицы β << 1, формула Бете сводится к

$-{\frac {dE}{dx}}={\frac {4\pi nz^{2}}{m_{e}v^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{e}v^{2}}{I}}\right)\right].$ ( 2 )

В этом можно убедиться, сначала заменив βc на v в уравнении. (1) и затем пренебрегая β ² из-за своего небольшого размера.

Поэтому при малых энергиях потери энергии по формуле Бете уменьшаются примерно как v ⁻² с увеличением энергии. Минимума она достигает примерно за E = 3 Мгц. ² , где M — масса частицы (для протонов это будет примерно при 3000 МэВ). Для сильно релятивистских случаев β ≈ 1 потери энергии снова логарифмически возрастают из-за поперечной компоненты электрического поля.

Средняя энергия возбуждения

Средняя энергия возбуждения I атомов в зависимости от атомного номера Z в эВ , деленная на Z

В теории Бете материал полностью описывается одним числом — средней энергией I. возбуждения В 1933 году Феликс Блох показал, что средняя энергия возбуждения атомов приблизительно равна

$I=(10~\mathrm {eV} )\cdot Z$ ( 3 )

где Z — атомный номер атомов материала. Если это приближение ввести в формулу ( 1 ) выше, получится выражение, которое часто называют формулой Бете-Блоха . Но поскольку теперь у нас есть точные таблицы I зависимости от Z (см. ниже), то использование такой таблицы даст лучшие результаты, чем использование формулы ( 3 ).

На рисунке показаны нормированные значения I , взятые из таблицы. Пики и впадины на этом рисунке приводят к соответствующим впадинам и пикам тормозной способности. Их называют « Z ₂ -колебаниями» или « Z ₂ -структурой» (где Z ₂ = Z означает атомный номер мишени).

Поправки к формуле Бете

Формула Бете действительна только для энергий, достаточно высоких, чтобы заряженная атомная частица ( ион ) не уносила с собой атомных электронов. При меньших энергиях, когда ион несет электроны, это эффективно уменьшает его заряд, и, таким образом, тормозная способность снижается. Но даже если атом полностью ионизирован, поправки необходимы.

Бете нашел свою формулу, используя квантовомеханическую теорию возмущений . Следовательно, его результат пропорционален квадрату заряда z частицы. Описание можно улучшить, если учесть поправки, соответствующие более высоким степеням z . Это: эффект Баркаса-Андерсена (пропорциональный z ³ , по Вальтеру Х. Баркасу и Гансу Хенрику Андерсену ), и Феликса Блоха -поправка (пропорциональная z ⁴ ). Кроме того, следует учитывать, что электроны атомов проходимого материала не являются стационарными (« оболочечная коррекция »).

Упомянутые поправки заложены, например, в программы PSTAR и ASTAR, с помощью которых можно рассчитывать тормозную способность протонов и альфа-частиц. Поправки велики при низкой энергии и становятся все меньше и меньше по мере увеличения энергии.

При очень высоких энергиях плотность поправка Ферми на необходимо добавить.

См. также

• Тормозная способность (излучение частиц)
• Распределение Ландау
• Ганс Бете

Внешние ссылки

• Страгглинговая функция. Потери энергии. Распределение заряженных частиц.
• Оригинальная публикация: К теории прохождения быстрых корпускулярных лучей через вещество в «Анналах физики», том 397 (1930) 325-400.
• Прохождение заряженных частиц через вещество с графиком
• Останавливающее действие протонов и альфа-частиц.
• Графики и данные останавливающей силы
• Последние численные решения