Пси-функции Бухгольца

Пси-функции Бухгольца представляют собой иерархию одноаргументных порядковых функций. $\psi _{\nu }(\alpha )$ введенный немецким математиком Вильфридом Бухгольцем в 1986 году. Эти функции представляют собой упрощенную версию $\theta$-функционируют, но, тем не менее, имеют одинаковую силу как те. Позже этот подход был расширен Ягером. и Шютте .

Определение

Бухгольц определил свои функции следующим образом. Определять:

• Ω _ξ = ω _ξ , если ξ > 0, Ω ₀ = 1

Функции ψ _v (α) для α — ординала, v — ординала не выше ω, определяются индукцией по α следующим образом:

• ψ _v (α) — наименьший ординал, не принадлежащий C _v (α)

где C _v (α) — наименьшее множество такое, что

• C _v (α) содержит все ординалы меньше, чем Ω _v
• C _v (α) замкнуто относительно порядкового сложения
• C _v (α) замкнута относительно функций ψ _u (при u ⩽ ω), примененных к аргументам, меньшим α.

Пределом этих обозначений является ординал Такеути–Фефермана–Бухгольца .

Характеристики

Позволять $P$ — класс аддитивно главных ординалов. Бухгольц показал следующие свойства этой функции:

• $\psi _{\nu }(0)=\Omega _{\nu },$
• $\psi _{\nu }(\alpha )\in P,$
• $\psi _{\nu }(\alpha +1)=\min\{\gamma \in P:\psi _{\nu }(\alpha )<\gamma \}{\text{ if }}\alpha \in C_{\nu }(\alpha ),$
• $\Omega _{\nu }\leq \psi _{\nu }(\alpha )<\Omega _{\nu +1}$
• $\psi _{0}(\alpha )=\omega ^{\alpha }{\text{ if }}\alpha <\varepsilon _{0},$
• $\psi _{\nu }(\alpha )=\omega ^{\Omega _{\nu }+\alpha }{\text{ if }}\alpha <\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1}{\text{ and }}\nu \neq 0,$
• $\theta (\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1},0)=\psi (\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1}){\text{ for }}0<\nu \leq \omega .$

Фундаментальные последовательности и нормальная форма функции Бухгольца

Нормальная форма

Нормальная форма для 0 равна 0. Если $\alpha$ является ненулевым порядковым числом $\alpha <\Omega _{\omega }$ тогда нормальная форма для $\alpha$ является $\alpha =\psi _{\nu _{1}}(\beta _{1})+\psi _{\nu _{2}}(\beta _{2})+\cdots +\psi _{\nu _{k}}(\beta _{k})$ где $\nu _{i}\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} _{>0},\beta _{i}\in C_{\nu _{i}}(\beta _{i})$ и $\psi _{\nu _{1}}(\beta _{1})\geq \psi _{\nu _{2}}(\beta _{2})\geq \cdots \geq \psi _{\nu _{k}}(\beta _{k})$ и каждый $\beta _{i}$ также пишется в нормальной форме.

Фундаментальные последовательности

Основная последовательность порядкового числа $\alpha$ с конфинальностью $\operatorname {cof} (\alpha )=\beta$ является строго возрастающей последовательностью $(\alpha [\eta ])_{\eta <\beta }$ с длиной $\beta$ и с лимитом $\alpha$, где $\alpha [\eta ]$ это $\eta$-й элемент этой последовательности. Если $\alpha$ является порядковым номером преемника, тогда $\operatorname {cof} (\alpha )=1$ и фундаментальная последовательность имеет только один элемент $\alpha [0]=\alpha -1$. Если $\alpha$ является предельным порядковым номером, тогда $\operatorname {cof} (\alpha )\in \{\omega \}\cup \{\Omega _{\mu +1}\mid \mu \geq 0\}$.

Для ненулевых ординалов $\alpha <\Omega _{\omega }$, записанные в нормальной форме, фундаментальные последовательности определяются следующим образом:

1. Если $\alpha =\psi _{\nu _{1}}(\beta _{1})+\psi _{\nu _{2}}(\beta _{2})+\cdots +\psi _{\nu _{k}}(\beta _{k})$ где $k\geq 2$ затем $\operatorname {cof} (\alpha )=\operatorname {cof} (\psi _{\nu _{k}}(\beta _{k}))$ и $\alpha [\eta ]=\psi _{\nu _{1}}(\beta _{1})+\cdots +\psi _{\nu _{k-1}}(\beta _{k-1})+(\psi _{\nu _{k}}(\beta _{k})[\eta ]),$
2. Если $\alpha =\psi _{0}(0)=1$, затем $\operatorname {cof} (\alpha )=1$ и $\alpha [0]=0$,
3. Если $\alpha =\psi _{\nu +1}(0)$, затем $\operatorname {cof} (\alpha )=\Omega _{\nu +1}$ и $\alpha [\eta ]=\Omega _{\nu +1}[\eta ]=\eta$,
4. Если $\alpha =\psi _{\nu }(\beta +1)$ затем $\operatorname {cof} (\alpha )=\omega$ и $\alpha [\eta ]=\psi _{\nu }(\beta )\cdot \eta$ (и обратите внимание: $\psi _{\nu }(0)=\Omega _{\nu }$),
5. Если $\alpha =\psi _{\nu }(\beta )$ и $\operatorname {cof} (\beta )\in \{\omega \}\cup \{\Omega _{\mu +1}\mid \mu <\nu \}$ затем $\operatorname {cof} (\alpha )=\operatorname {cof} (\beta )$ и $\alpha [\eta ]=\psi _{\nu }(\beta [\eta ])$,
6. Если $\alpha =\psi _{\nu }(\beta )$ и $\operatorname {cof} (\beta )\in \{\Omega _{\mu +1}\mid \mu \geq \nu \}$ затем $\operatorname {cof} (\alpha )=\omega$ и $\alpha [\eta ]=\psi _{\nu }(\beta [\gamma [\eta ]])$ где $\left\{{\begin{array}{lcr}\gamma [0]=\Omega _{\mu }\\\gamma [\eta +1]=\psi _{\mu }(\beta [\gamma [\eta ]])\\\end{array}}\right.$.

Объяснение

Бухгольц работает в теории множеств Цермело – Френкеля, что означает, что каждый порядковый номер $\alpha$ равно множеству $\{\beta \mid \beta <\alpha \}$. Тогда условие $C_{\nu }^{0}(\alpha )=\Omega _{\nu }$ означает, что установлен $C_{\nu }^{0}(\alpha )$ включает все порядковые номера меньше $\Omega _{\nu }$ другими словами $C_{\nu }^{0}(\alpha )=\{\beta \mid \beta <\Omega _{\nu }\}$.

Состояние $C_{\nu }^{n+1}(\alpha )=C_{\nu }^{n}(\alpha )\cup \{\gamma \mid P(\gamma )\subseteq C_{\nu }^{n}(\alpha )\}\cup \{\psi _{\mu }(\xi )\mid \xi \in \alpha \cap C_{\nu }^{n}(\alpha )\wedge \mu \leq \omega \}$ означает, что установлен $C_{\nu }^{n+1}(\alpha )$ включает в себя:

• все порядковые номера из предыдущего набора $C_{\nu }^{n}(\alpha )$,
• все ординалы, которые можно получить суммированием аддитивно главных ординалов из предыдущего набора $C_{\nu }^{n}(\alpha )$,
• все порядковые номера, которые можно получить, применяя порядковые номера меньше $\alpha$ из предыдущего набора $C_{\nu }^{n}(\alpha )$ как аргументы функций $\psi _{\mu }$, где $\mu \leq \omega$.

Поэтому мы можем переписать это условие так:

$C_{\nu }^{n+1}(\alpha )=\{\beta +\gamma ,\psi _{\mu }(\eta )\mid \beta ,\gamma ,\eta \in C_{\nu }^{n}(\alpha )\wedge \eta <\alpha \wedge \mu \leq \omega \}.$

Таким образом, объединение всех множеств $C_{\nu }^{n}(\alpha )$ с $n<\omega$ т.е. $C_{\nu }(\alpha )=\bigcup _{n<\omega }C_{\nu }^{n}(\alpha )$ обозначает набор всех ординалов, которые могут быть созданы из ординалов $<\aleph _{\nu }$ функциями + (сложение) и $\psi _{\mu }(\eta )$, где $\mu \leq \omega$ и $\eta <\alpha$.

Затем $\psi _{\nu }(\alpha )=\min\{\gamma \mid \gamma \not \in C_{\nu }(\alpha )\}$ — наименьший порядковый номер, не принадлежащий этому множеству.

Примеры

Рассмотрим следующие примеры:

$C_{0}^{0}(\alpha )=\{0\}=\{\beta \mid \beta <1\},$

$C_{0}(0)=\{0\}$ (поскольку нет функций $\psi (\eta <0)$ и 0 + 0 = 0).

Затем $\psi _{0}(0)=1$.

$C_{0}(1)$ включает в себя $\psi _{0}(0)=1$ и все возможные суммы натуральных чисел и, следовательно, $\psi _{0}(1)=\omega$ – первый трансфинитный порядковый номер, который по определению больше всех натуральных чисел.

$C_{0}(2)$ включает в себя $\psi _{0}(0)=1,\psi _{0}(1)=\omega$ и все возможные их суммы и, следовательно, $\psi _{0}(2)=\omega ^{2}$.

Если $\alpha =\omega$ затем $C_{0}(\alpha )=\{0,\psi (0)=1,\ldots ,\psi (1)=\omega ,\ldots ,\psi (2)=\omega ^{2},\ldots ,\psi (3)=\omega ^{3},\ldots \}$ и $\psi _{0}(\omega )=\omega ^{\omega }$.

Если $\alpha =\Omega$ затем $C_{0}(\alpha )=\{0,\psi (0)=1,\ldots ,\psi (1)=\omega ,\ldots ,\psi (\omega )=\omega ^{\omega },\ldots ,\psi (\omega ^{\omega })=\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots \}$ и $\psi _{0}(\Omega )=\varepsilon _{0}$ – наименьшее число эпсилон, т.е. первая фиксированная точка $\alpha =\omega ^{\alpha }$.

Если $\alpha =\Omega +1$ затем $C_{0}(\alpha )=\{0,1,\ldots ,\psi _{0}(\Omega )=\varepsilon _{0},\ldots ,\varepsilon _{0}+\varepsilon _{0},\ldots ,\psi _{1}(0)=\Omega ,\ldots \}$ и $\psi _{0}(\Omega +1)=\varepsilon _{0}\omega =\omega ^{\varepsilon _{0}+1}$.

$\psi _{0}(\Omega 2)=\varepsilon _{1}$ второе число эпсилон,

$\psi _{0}(\Omega ^{2})=\varepsilon _{\varepsilon _{\cdots }}=\zeta _{0}$ т.е. первая фиксированная точка $\alpha =\varepsilon _{\alpha }$,

$\varphi (\alpha ,\beta )=\psi _{0}(\Omega ^{\alpha }(1+\beta ))$, где $\varphi$ обозначает функцию Веблена ,

$\psi _{0}(\Omega ^{\Omega })=\Gamma _{0}=\varphi (1,0,0)=\theta (\Omega ,0)$, где $\theta$ обозначает функцию Фефермана и $\Gamma _{0}$ – ординал Фефермана–Шюте ,

$\psi _{0}(\Omega ^{\Omega ^{2}})=\varphi (1,0,0,0)$ – ординал Аккермана ,

$\psi _{0}(\Omega ^{\Omega ^{\omega }})$ малый ординал Веблена ,

$\psi _{0}(\Omega ^{\Omega ^{\Omega }})$ — большой ординал Веблена ,

$\psi _{0}(\Omega \uparrow \uparrow \omega )=\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega +1})=\theta (\varepsilon _{\Omega +1},0).$

Теперь давайте исследуем, как $\psi _{1}$ работает:

$C_{1}^{0}(0)=\{\beta \mid \beta <\Omega _{1}\}=\{0,\psi (0)=1,2,\ldots {\text{googol}},\ldots ,\psi _{0}(1)=\omega ,\ldots ,\psi _{0}(\Omega )=\varepsilon _{0},\ldots$

$\ldots ,\psi _{0}(\Omega ^{\Omega })=\Gamma _{0},\ldots ,\psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega }+\Omega ^{2}}),\ldots \}$ т.е. включает в себя все счетные ординалы. И поэтому $C_{1}(0)$ включает все возможные суммы всех счетных ординалов и $\psi _{1}(0)=\Omega _{1}$ первый неисчисляемый порядковый номер, который по определению больше всех счетных порядковых номеров, т.е. наименьшее число с мощностью $\aleph _{1}$.

Если $\alpha =1$ затем $C_{1}(\alpha )=\{0,\ldots ,\psi _{0}(0)=\omega ,\ldots ,\psi _{1}(0)=\Omega ,\ldots ,\Omega +\omega ,\ldots ,\Omega +\Omega ,\ldots \}$ и $\psi _{1}(1)=\Omega \omega =\omega ^{\Omega +1}$.

$\psi _{1}(2)=\Omega \omega ^{2}=\omega ^{\Omega +2},$

$\psi _{1}(\psi _{1}(0))=\psi _{1}(\Omega )=\Omega ^{2}=\omega ^{\Omega +\Omega },$

$\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)))=\omega ^{\Omega +\omega ^{\Omega +\Omega }}=\omega ^{\Omega \cdot \Omega }=(\omega ^{\Omega })^{\Omega }=\Omega ^{\Omega },$

$\psi _{1}^{4}(0)=\Omega ^{\Omega ^{\Omega }},$

$\psi _{1}^{k+1}(0)=\Omega \uparrow \uparrow k$ где $k$ является натуральным числом, $k\geq 2$,

$\psi _{1}(\Omega _{2})=\psi _{1}^{\omega }(0)=\Omega \uparrow \uparrow \omega =\varepsilon _{\Omega +1}.$

Для случая $\psi (\psi _{2}(0))=\psi (\Omega _{2})$ набор $C_{0}(\Omega _{2})$ включает в себя функции $\psi _{0}$ со всеми аргументами меньше $\Omega _{2}$ то есть такие аргументы, как $0,\psi _{1}(0),\psi _{1}(\psi _{1}(0)),\psi _{1}^{3}(0),\ldots ,\psi _{1}^{\omega }(0)$

а потом

$\psi _{0}(\Omega _{2})=\psi _{0}(\psi _{1}(\Omega _{2}))=\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega +1}).$

В общем случае:

$\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})=\psi _{0}(\psi _{\nu }(\Omega _{\nu +1}))=\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\theta (\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1},0).$

Мы также можем написать:

$\theta (\Omega _{\nu },0)=\psi _{0}(\Omega _{\nu }^{\Omega }){\text{ (for }}1\leq \nu )<\omega$

Порядковое обозначение

Бухгольц определил порядковую запись ${\mathsf {(OT,<)}}$ связанный с $\psi$ функция. Одновременно определим множества $T$ и $PT$ как формальные строки, состоящие из $0,D_{v}$ индексируется $v\in \omega +1$, фигурные скобки и запятые следующим образом:

• $0\in T\land 0\in PT$,
• $\forall (v,a)\in (\omega +1)\times T(D_{v}a\in T\land D_{v}a\in PT)$.
• $\forall (a_{0},a_{1})\in PT^{2}((a_{0},a_{1})\in T)$.
• $\exists s(a_{0}=s)\land (a_{0},a_{1})\in T\times PT\rightarrow (s,a_{1})\in T$.

Элемент $T$ называется термином , а элементом $PT$ называется главным термином . По определению, $T$ представляет собой рекурсивный набор и $PT$ является рекурсивным подмножеством $T$. Каждый термин либо $0$, главный термин или массив главных членов длины в фигурных скобках $\geq 2$. Обозначим $a\in PT$ к $(a)$. По соглашению каждый термин может быть однозначно выражен либо как $0$ или заключенный в фигурные скобки непустой массив основных терминов. Поскольку пункты 3 и 4 определения $T$ и $PT$ применимы только к массивам длины $\geq 2$, это соглашение не вызывает серьезной двусмысленности.

Затем мы определяем бинарное отношение $a<b$ на $T$ следующим образом:

• $b=0\rightarrow a<b=\bot$
• $a=0\rightarrow (a<b\leftrightarrow b\neq 0)$
• Если $a\neq 0\land b\neq 0$, затем:
  • Если $a=D_{u}a'\land b=D_{v}b'$ для некоторых $((u,a'),(v,b'))\in ((\omega +1)\times T)^{2}$, затем $a<b$ истинно, если верно любое из следующих условий:
    • $u<v$
    • $u=v\land a'<b'$
  • Если $a=(a_{0},...,a_{n})\land b=(b_{0},...,b_{m})$ для некоторых $(n,m)\in \mathbb {N} ^{2}\land 1\leq n+m$, затем $a<b$ истинно, если верно любое из следующих условий:
    • $\forall i\in \mathbb {N} \land i\leq n(n<m\land a_{i}=b_{i})$
    • $\exists k\in \mathbb {N} \forall i\in \mathbb {N} \land i<k(k\leq min\{n,m\}\land a_{k}<b_{k}\land a_{i}=b_{1})$

$<$ представляет собой рекурсивный строгий тотальный порядок $T$. Мы сокращаем $(a<b)\lor (a=b)$ как $a\leq b$. Хотя $\leq$ сам по себе не является упорядоченным, его ограничение рекурсивным подмножеством $OT\subset T$, который будет описан позже, образует упорядоченность. Чтобы определить $OT$, мы определяем подмножество $G_{u}a\subset T$ для каждого $(u,a)\in (\omega +1)\times T$ следующим образом:

• $a=0\rightarrow G_{u}a=\varnothing$
• Предположим, что $a=D_{v}a'$ для некоторых $(v,a')\in (\omega +1)\times T$, затем:
  • $u\leq v\rightarrow G_{u}a=\{a'\}\cup G_{u}a'$
  • $u>v\rightarrow G_{u}a=\varnothing$

• Если $a=(a_{0},...,a_{k})$ для некоторых $(a_{i})_{i=0}^{k}\in PT^{k+1}$ для некоторых $k\in \mathbb {N} \backslash \{0\},G_{u}a=\bigcup _{i=0}^{k}G_{u}a_{i}$.

$b\in G_{u}a$ представляет собой рекурсивное отношение на $(u,a,b)\in (\omega +1)\times T^{2}$. Наконец, мы определяем подмножество $OT\subset T$ следующим образом:

• $0\in OT$
• Для любого $(v,a)\in (\omega +1)\times T$, $D_{v}a\in OT$ эквивалентно $a\in OT$ и для любого $a'\in G_{v}a$, $a'<a$.
• Для любого $(a_{i})_{i=0}^{k}\in PT^{k+1}$, $(a_{0},...,a_{k})\in OT$ эквивалентно $(a_{i})_{i=0}^{k}\in OT$ и $a_{k}\leq ...\leq a_{0}$.

$OT$ является рекурсивным подмножеством $T$, и элемент $OT$ называется порядковым термином . Затем мы можем определить карту $o:OT\rightarrow C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ следующим образом:

• $a=0\rightarrow o(a)=0$
• Если $a=D_{v}a'$ для некоторых $(v,a')\in (\omega +1)\times OT$, затем $o(a)=\psi _{v}(o(a'))$.
• Если $a=(a_{0},...,a_{k})$ для некоторых $(a_{i})_{i=0}^{k}\in (OT\cap PT)^{k+1}$ с $k\in \mathbb {N} \backslash \{0\}$, затем $o(a)=o(a_{0})\#...\#o(a_{k})$, где $\#$ обозначает убывающую сумму ординалов, что совпадает с обычным сложением по определению $OT$.

Бухгольц проверил следующие свойства $o$:

• Карта $o$ является сохраняющим порядок биективным отображением относительно $<$ и $\in$. В частности, $o$ является рекурсивным строгим упорядочением $OT$.
• Для любого $a\in OT$ удовлетворяющий $a<D_{1}0$, $o(a)$ совпадает с порядковым типом $<$ ограничено счетным подмножеством $\{x\in OT\;|\;x<a\}$.
• Порядковый номер Такеути -Фефермана-Бухгольца совпадает с порядковым типом $<$ ограничено рекурсивным подмножеством $\{x\in OT\;|\;x<D_{1}0\}$.
• Порядковый тип $(OT,<)$ больше ординала Такеути-Фефермана-Бухгольца .
• Для любого $v\in \mathbb {N} \;\backslash \;\{0\}$, обоснованность $<$ ограничено рекурсивным подмножеством $\{x\in OT\;|\;x<D_{0}D_{v+1}0\}$ в смысле несуществования примитивно-рекурсивной бесконечной нисходящей последовательности недоказуемо при ${\mathsf {ID}}_{v}$.
• Обоснованность $<$ ограничено рекурсивным подмножеством $\{x\in OT\;|\;x<D_{0}D_{\omega }0\}$ в том же смысле, что и выше, не доказуемо при $\Pi _{1}^{1}-CA_{0}$.

Нормальная форма

Нормальную форму функции Бухгольца можно определить путем возврата к стандартной форме для порядкового обозначения, связанного с ней по формуле $o$. А именно, набор $NF$ предикатов, где ординалы в $C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ определяется следующим образом:

• Предикат $\alpha =_{NF}0$ по порядковому номеру $\alpha \in C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ определяется как $\alpha =0$ принадлежит $NF$.

• Предикат $\alpha _{0}=_{NF}\psi _{k_{1}}(\alpha _{1})$ где ординалы $\alpha _{0},\alpha _{1}\in C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ с $k_{1}=\omega +1$ определяется как $\alpha _{0}=\psi _{k_{1}}(\alpha _{1})$ и $\alpha _{1}=C_{k_{1}}(\alpha _{1})$ принадлежит $NF$.
• Предикат $\alpha _{0}=_{NF}\alpha _{1}+...+\alpha _{n}$ где ординалы $\alpha _{0},\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ с целым числом $n>1$ определяется как $\alpha _{0}=\alpha _{1}+...+\alpha _{n}$, $\alpha _{1}\geq ...\geq \alpha _{n}$, и $\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in AP$ принадлежит $NF$. Здесь $+$ является функциональным символом, а не фактическим дополнением, и $AP$ обозначает класс аддитивных главных чисел.

Полезно также заменить третий случай следующим, полученным объединением второго условия:

• Предикат $\alpha _{0}=_{NF}\psi _{k_{1}}(\alpha _{1})+...+\psi _{k_{n}}(\alpha _{n})$ где ординалы $\alpha _{0},\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ с целым числом $n>1$ и $k_{1},...,k_{n}\in \omega +1$ определяется как $\alpha _{0}=\psi _{k_{1}}(\alpha _{1})+...+\psi _{k_{n}}(\alpha _{n})$, $\psi _{k_{1}}(\alpha _{1})\geq ...\geq \psi _{k_{n}}(\alpha _{n})$, и $\alpha _{1}\in C_{k_{1}}(\alpha _{1}),...,\alpha _{n}\in C_{k_{n}}(\alpha _{n})\in AP$ принадлежит $NF$.

Заметим, что эти две формулировки не эквивалентны. Например, $\psi _{0}(\Omega )+1=_{NF}\psi _{0}(\zeta _{1})+\psi _{0}(0)$ является допустимой формулой, которая неверна по отношению ко второй формулировке из-за $\zeta _{1}\neq C_{0}(\zeta _{1})$, хотя это действительная формула, которая верна по отношению к первой формулировке из-за $\psi _{0}(\Omega )+1=\psi _{0}(\zeta _{1})+\psi _{0}(0)$, $\psi _{0}(\zeta _{1}),\psi _{0}(0)\in AP$, и $\psi _{0}(\zeta _{1})\geq \psi _{0}(0)$. Таким образом, понятие нормальной формы во многом зависит от контекста. В обеих формулировках каждый порядковый номер в $C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ может быть однозначно выражена в нормальной форме для функции Бухгольца.