Функция Чепмена

График ch(x, z)

Функция Чепмена описывает интеграцию атмосферного поглощения по наклонной траектории на сферической Земле относительно вертикального случая. Оно применимо к любой величине, концентрация которой экспоненциально убывает с увеличением высоты . В первом приближении, справедливом при малых зенитных углах , функция Чепмена для оптического поглощения равна

$\sec(z),\$

где z — зенитный угол, а sec — секущая функция .

Функция Чепмена названа в честь Сиднея Чепмена , который представил эту функцию в 1931 году .

Определение

В изотермической модели атмосферы плотность ${\textstyle \varrho (h)}$ экспоненциально меняется с высотой ${\textstyle h}$ по барометрической формуле :

$\varrho (h)=\varrho _{0}\exp \left(-{\frac {h}{H}}\right)$,

где ${\textstyle \varrho _{0}}$ обозначает плотность на уровне моря ( ${\textstyle h=0}$) и ${\textstyle H}$ так называемая высота шкалы . Общее количество материи, пройденное вертикальным лучом, начинающимся с высоты. ${\textstyle h}$ к бесконечности определяется интегральной плотностью («глубиной столбца»)

$X_{0}(h)=\int _{h}^{\infty }\varrho (l)\,\mathrm {d} l=\varrho _{0}H\exp \left(-{\frac {h}{H}}\right)$.

Для наклонных лучей, имеющих зенитный угол ${\textstyle z}$, интегрирование не является прямым из-за нелинейной зависимости между высотой и длиной пути при рассмотрении кривизна Земли. Здесь интеграл имеет вид

$X_{z}(h)=\varrho _{0}\exp \left(-{\frac {h}{H}}\right)\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{H}}\left({\sqrt {s^{2}+l^{2}+2ls\cos z}}-s\right)\right)\,\mathrm {d} l$,

где мы определили ${\textstyle s=h+R_{\mathrm {E} }}$ ( ${\textstyle R_{\mathrm {E} }}$ обозначает радиус Земли ).

Функция Чепмена ${\textstyle \operatorname {ch} (x,z)}$ определяется как соотношение между глубиной наклона ${\textstyle X_{z}}$ и глубина вертикального столбца ${\textstyle X_{0}}$. Определение ${\textstyle x=s/H}$, это можно записать как

$\operatorname {ch} (x,z)={\frac {X_{z}}{X_{0}}}=\mathrm {e} ^{x}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\sqrt {x^{2}+u^{2}+2xu\cos z}}\right)\,\mathrm {d} u$.

Представительства

В литературе разработан ряд различных интегральных представлений. Первоначальное представление Чепмена гласит:

$\operatorname {ch} (x,z)=x\sin z\int _{0}^{z}{\frac {\exp \left(x(1-\sin z/\sin \lambda )\right)}{\sin ^{2}\lambda }}\,\mathrm {d} \lambda$.

Уэстис разработал представление

$\operatorname {ch} (x,z)=1+x\sin z\int _{0}^{z}{\frac {\exp \left(x(1-\sin z/\sin \lambda )\right)}{1+\cos \lambda }}\,\mathrm {d} \lambda$,

который не страдает числовыми особенностями, присутствующими в представлении Чепмена.

Особые случаи

Для ${\textstyle z=\pi /2}$ (горизонтальное падение), функция Чепмена сводится к

$\operatorname {ch} \left(x,{\frac {\pi }{2}}\right)=x\mathrm {e} ^{x}K_{1}(x)$.

Здесь, ${\textstyle K_{1}(x)}$ относится к модифицированной функции Бесселя второго рода первого порядка. Для больших значений ${\textstyle x}$, это может быть дополнительно аппроксимировано выражением

$\operatorname {ch} \left(x\gg 1,{\frac {\pi }{2}}\right)\approx {\sqrt {{\frac {\pi }{2}}x}}$.

Для ${\textstyle x\rightarrow \infty }$ и ${\textstyle 0\leq z<\pi /2}$, функция Чепмена сходится к секущей функции:

$\lim _{x\rightarrow \infty }\operatorname {ch} (x,z)=\sec z$.

В практических приложениях, связанных с земной атмосферой, где ${\textstyle x\sim 1000}$, ${\textstyle \operatorname {ch} (x,z)\approx \sec z}$ является хорошим приближением для зенитных углов до 60–70°, в зависимости от требуемой точности.

См. также

• Воздушная масса
• Физика атмосферы
• ионосфера

Внешние ссылки

• Выступление Чепмена в Science World
• Смит, Флорида; Смит, Коди (1972). «Численная оценка интеграла скользящей инцидентности Чепмена ch (X, χ)». Дж. Геофиз. Рез . 77 (19): 3592–3597. Бибкод : 1972JGR....77.3592S . дои : 10.1029/JA077i019p03592 .