Ненормальная модальная логика

Ненормальная модальная логика — это вариант модальной логики , который отклоняется от основных принципов нормальной модальной логики .

Обычная модальная логика придерживается аксиомы дистрибутивности ( $\Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)$ ) и принцип необходимости, который гласит, что «тавтология обязательно должна быть истинной» ( $\vdash A$ влечет за собой $\vdash \Box A$ ). ^[1] С другой стороны, ненормальные модальные логики не всегда предъявляют такие требования. Минимальным вариантом ненормальной модальной логики является логика E , которая содержит правило сравнения в исчислении Гильберта или правило E в секвенциальном исчислении на соответствующих системах доказательств для классической логики высказываний . Дополнительные аксиомы, а именно аксиомы M , C и N , могут быть добавлены для формирования более сильных логических систем. При добавлении всех трех аксиом к логике E логическая система, эквивалентная нормальной модальной логике K. получается ^[2]

В то время как семантика Крипке является наиболее распространенной формальной семантикой для нормальных модальных логик (например, логики K ), ненормальные модальные логики часто интерпретируются с помощью семантики окрестности .

Синтаксис [ править ]

Синтаксис систем ненормальной модальной логики напоминает синтаксис нормальной модальной логики, основанной на логике высказываний. Атомарное утверждение представлено пропозициональными переменными (например, $p,q,r$ ); логические связки включают в себя отрицание ( $\neg$ ), соединение ( $\land$ ), дизъюнкция ( $\lor$ ) и импликация ( $\to$ ). Модальности чаще всего обозначаются рамкой ( $\Box$ ) и алмаз ( $\Diamond$ ).

для Формальная грамматика этого синтаксиса может быть минимально определена с использованием только символов отрицания, дизъюнкции и прямоугольника. На таком языке $\varphi ,\psi :=p\ |\ \neg \varphi \ |\ \Box \varphi \ |\ \varphi \lor \psi$ где $p$ любое пропозициональное имя. ^[3] Союз $\varphi \land \psi$ может быть тогда определен как эквивалент $\neg (\neg \varphi \lor \neg \psi )$ . Для любой модальной формулы $\varphi$ , формула $\Diamond \varphi$ определяется $\neg \Box \neg \varphi$ . В качестве альтернативы, если язык сначала определяется с помощью ромба, то блок можно аналогично определить с помощью $\Box \varphi \equiv \neg \Diamond \neg \varphi$ . ^[4]

Для любого пропозиционального имени $p$ , формулы $p$ и $\neg p$ считаются пропозициональными литералами, в то время как $\Box p$ и $\neg \Box p$ считаются модальными литералами .

Системы доказательств [ править ]

Логика E , минимальный вариант ненормальной модальной логики, включает правило сравнения RE в исчисление Гильберта или правило E в секвенциальное исчисление.

Исчисление Гильберта [ править ]

Исчисление Гильберта для логики E построено на исчислении классической логики высказываний с правилом сравнения ( RE ): ${\frac {A\leftrightarrow B}{\Box A\leftrightarrow \Box B}}$ . Альтернативно, правило может быть определено с помощью ${\frac {A\leftrightarrow B}{\Diamond A\leftrightarrow \Diamond B}}$ . Логики, содержащие это правило, называются конгруэнтными .

Секвенционное исчисление [ править ]

Секвенциальное исчисление для логики E , еще одна система доказательств, работающая с секвенциями , состоит из правил вывода для логики высказываний и E : правила вывода ${\frac {A\vdash B\qquad B\vdash A}{\Gamma ,\Box A\vdash \Box B,\Delta }}$ .

Секвенция $\Gamma \vdash \Delta$ означает $\Gamma$ влечет за собой $\Delta$ , с $\Gamma$ являющийся антецедентом (сочетанием формул как посылок) и $\Delta$ бытие прецедента (дизъюнкция формул как заключение).

Исчисление разрешения [ править ]

Исчисление разрешения для ненормальных модальных логик вводит концепцию глобальных и локальных модальностей. Формула ${\mathsf {G}}(\varphi )$ обозначает глобальную модальность модальной формулы $\varphi$ , а это значит, что $\varphi$ справедливо во всех мирах модели соседства. Для логики E расчет разрешения состоит из правил LRES, GRES, G2L, LERES и GERES. ^[3]

Правило LRES напоминает правило разрешения классической логики высказываний, где любые пропозициональные литералы $p$ и $\neg p$ устраняются: ${\frac {D\lor l\qquad D'\lor \neg l}{D\lor D'}}$ .

Правило LERES гласит, что если два пропозициональных имени $p$ и $p'$ эквивалентны, то $\Box p$ и $\neg \Box p'$ можно устранить. Правило G2L гласит, что любая глобально истинная формула также верна и локально. Правила вывода GRES и GERES, а варианты LRES и LERES применяются к формулам с глобальной модальностью.

Для любой модальной формулы процесс доказательства с помощью этого исчисления разрешения выполняется путем рекурсивного переименования сложной модальной формулы в пропозициональное имя и использования глобальной модальности для подтверждения их эквивалентности.

Семантика [ править ]

В то время как семантика Крипке часто применяется как семантика нормальных модальных логик, семантика ненормальных модальных логик обычно определяется с помощью моделей окрестности. Стандартная модель соседства ${\mathcal {M}}$ определяется тройкой $\langle {\mathcal {W}},{\mathcal {N}},{\mathcal {V}}\rangle$ где: ^[5]^[6]

${\mathcal {W}}$ представляет собой непустое множество миров .
${\mathcal {N}}:{\mathcal {W}}\to {\mathcal {PP}}({\mathcal {W}})$ — это функция соседства , которая отображает любой мир в набор миров. Функция ${\mathcal {P}}$ обозначает набор мощности .
${\mathcal {V}}:Atm\to {\mathcal {P}}({\mathcal {W}})$ — это функция оценки , которая, учитывая любое пропозициональное имя $p$ , выводит набор миров, в которых $p$ это правда.

Семантику можно далее обобщить как семантику двусоседства. ^[7]

Дополнительные аксиомы [ править ]

Классический куб ненормальной модальной логики рассматривает аксиомы M, C и N, которые можно добавить к логике E, определенной следующим образом. ^[6]

Дополнительные аксиомы для ненормальных модальных логик
Аксиома	Определение	Альтернативное определение	Соответствующая семантика соседства
М	$\Box (A\land B)\to \Box A$	$\Diamond A\to \Diamond (A\land B)$	Если $\alpha \in {\mathcal {N}}(w)$ и $\alpha \subseteq \beta$ , затем $\beta \in {\mathcal {N}}(w)$ .
С	$\Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)$	$\Diamond (A\lor B)\to \Diamond A\lor \Diamond B$	Если $\alpha ,\beta \in {\mathcal {N}}(w)$ , затем $\alpha \cap \beta \in {\mathcal {N}}(w)$ .
Н	$\Box \top$	$\neg \Diamond \bot$	${\mathcal {W}}\in {\mathcal {N}}(w)$ .

Логическая система, содержащая аксиому М монотонна , . С аксиомами М и С логическая система является регулярной . С учетом всех трех аксиом логическая система является нормальной .

Вместе с этими аксиомами в их системы доказательств соответственно включаются дополнительные правила.

Ссылки [ править ]

^ Гарсон, Джеймс (2023). Залта, Эдвард Нури ; Нодельман, Ури (ред.). «Модальная логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 24 декабря 2023 г.
^ Дальмонте, Тициан; Негри, Сара ; Оливетти, Никола; Поццато, Джан Лука (сентябрь 2021 г.). Доказательство теорем для ненормальных модальных логик . OVERLAY 2020. Удине, Италия . Проверено 24 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Паттинсон, Дирк; Оливетти, Никола; Налон, Клаудия (2023). Исчисление разрешения для ненормальных модальных логик . TABLEAUX 2023. Конспекты лекций по информатике. Том. 14278. стр. 322–341. дои : 10.1007/978-3-031-43513-3_18 . Проверено 24 декабря 2023 г.
^ Карнап, Рудольф (июнь 1946 г.). «Модальность и количественная оценка» . Журнал символической логики . 11 (2). Ассоциация символической логики: 33–64. дои : 10.2307/2268610 . Проверено 27 декабря 2023 г.
^ Пакуит, Эрик (ноябрь 2017 г.). Семантика соседства для модальной логики . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-67149-9 . ISBN 978-3-319-67149-9 . Проверено 24 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дальмонте, Тициано (2020). Ненормальная модальная логика: семантика окрестности и ее исчисление (PDF) (Диссертация). Университет Экс-Марсель . Проверено 24 декабря 2023 г.
^ Дальмонте, Тициано; Оливетти, Никола; Негри, Сара (август 2018 г.). «Ненормальные модальные логики: семантика двусоседства и ее помеченные исчисления» . Достижения в модальной логике 2018 . Берн, Швейцария. ISBN 978-1-84890-255-8 .

[1] Гарсон, Джеймс (2023). Залта, Эдвард Нури ; Нодельман, Ури (ред.). «Модальная логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 24 декабря 2023 г.

[2] Дальмонте, Тициан; Негри, Сара ; Оливетти, Никола; Поццато, Джан Лука (сентябрь 2021 г.). Доказательство теорем для ненормальных модальных логик . OVERLAY 2020. Удине, Италия . Проверено 24 декабря 2023 г.

[resolution-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Паттинсон, Дирк; Оливетти, Никола; Налон, Клаудия (2023). Исчисление разрешения для ненормальных модальных логик . TABLEAUX 2023. Конспекты лекций по информатике. Том. 14278. стр. 322–341. дои : 10.1007/978-3-031-43513-3_18 . Проверено 24 декабря 2023 г.

[4] Карнап, Рудольф (июнь 1946 г.). «Модальность и количественная оценка» . Журнал символической логики . 11 (2). Ассоциация символической логики: 33–64. дои : 10.2307/2268610 . Проверено 27 декабря 2023 г.

[5] Пакуит, Эрик (ноябрь 2017 г.). Семантика соседства для модальной логики . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-67149-9 . ISBN 978-3-319-67149-9 . Проверено 24 декабря 2023 г.

[Dalmonte-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дальмонте, Тициано (2020). Ненормальная модальная логика: семантика окрестности и ее исчисление (PDF) (Диссертация). Университет Экс-Марсель . Проверено 24 декабря 2023 г.

[7] Дальмонте, Тициано; Оливетти, Никола; Негри, Сара (август 2018 г.). «Ненормальные модальные логики: семантика двусоседства и ее помеченные исчисления» . Достижения в модальной логике 2018 . Берн, Швейцария. ISBN 978-1-84890-255-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]