Семантика соседства

Семантика соседства , также известная как семантика Скотта-Монтегю , является формальной семантикой модальных логик . Это обобщение, независимо разработанное Даной Скотт и Ричардом Монтегю , более широко известной реляционной семантики модальной логики. В то время как реляционная структура $\langle W,R\rangle$ состоит из набора W миров (или состояний) и отношения доступности R, предназначенного для указания того, какие миры являются альтернативами (или доступными из) других, рамки окрестности $\langle W,N\rangle$ по-прежнему имеет множество W миров, но вместо отношения доступности имеет функцию соседства

$N:W\to 2^{2^{W}}$

который присваивает каждому элементу W набор подмножеств W . Интуитивно понятно, что каждое семейство подмножеств, присвоенное миру, представляет собой предложения, необходимые в этом мире, где «предложение» определяется как подмножество W (т.е. набор миров, в которых это предложение истинно). В частности, если M — модель на кадре, то

$M,w\models \square \varphi \Longleftrightarrow (\varphi )^{M}\in N(w),$

где

$(\varphi )^{M}=\{u\in W\mid M,u\models \varphi \}$

это истинный набор $\varphi$.

Семантика соседства используется для классических модальных логик , которые строго слабее, чем модальная логика K. нормальная

Соответствие между реляционной и соседской моделями

Каждой реляционной модели M = ( W , R , V ) соответствует эквивалентная (в смысле наличия поточечно-идентичных модальных теорий) модель окрестности M' = ( W , N , V ), определяемая формулой

$N(w)=\{(\varphi )^{M}\mid M,w\models \Box \varphi \}.$

Тот факт, что обратное неверно, придает точный смысл замечанию о том, что модели соседства являются обобщением реляционных моделей. Другим (возможно, более естественным) обобщением реляционных структур являются общие фреймы .

Ссылки

• Челлас, Б.Ф. Модальная логика . Издательство Кембриджского университета, 1980.
• Монтегю, Р. «Универсальная грамматика», Theoria 36, ​​373–98, 1970.
• Скотт, Д. «Советы по модальной логике», в книге «Философские проблемы логики» , изд. Карел Ламберт. Рейдель, 1970.