Уравнения Редже–Уиллера–Церилли.

Красные линии: потенциалы Редже-Уиллера. Синие линии: потенциалы Зерилли.

В общей теории относительности уравнения Редже-Уиллера-Церилли представляют собой пару уравнений, описывающую гравитационные возмущения черной дыры Шварцшильда , названной в честь Туллио Редже , Джона Арчибальда Уиллера и Фрэнка Дж. Зерилли. Возмущения метрики Шварцшильда подразделяются на два типа, а именно, осевые и полярные возмущения - терминология, введенная Субраманьяном Чандрасекаром . Осевые возмущения вызывают торможение системы отсчета , сообщая вращение черной дыре, и меняют знак при изменении азимутального направления, тогда как полярные возмущения не вызывают вращения и не меняют знак при изменении азимутального направления. Уравнение для осевых возмущений называется уравнением Редже – Уиллера , а уравнение, управляющее полярными возмущениями, называется уравнением Церилли .

Уравнения принимают ту же форму, что и одномерное уравнение Шрёдингера . Уравнения читаются как

$\left({\frac {d^{2}}{dr_{*}^{2}}}+\sigma ^{2}\right)Z^{\pm }=V^{\pm }Z^{\pm }$

где $Z^{+}$ характеризует полярные возмущения и $Z^{-}$ осевые возмущения. Здесь $r_{*}=r+2M\ln(r/2M-1)$ — координата черепахи (мы задаем $G=c=1$), $r$ принадлежит координатам Шварцшильда $(t,r,\theta ,\varphi )$, $2M$ - радиус Шварцшильда и $\sigma$ представляет собой временную частоту возмущений, возникающих в виде $e^{i\sigma t}$. Потенциал Редже-Уиллера и потенциал Церилли соответственно определяются выражениями

$V^{-}={\frac {2(r^{2}-2Mr)}{r^{5}}}[(n+1)r-3M]$

$V^{+}={\frac {2(r^{2}-2Mr)}{r^{5}(nr+3M)^{2}}}[n^{2}(n+1)r^{3}+3Mn^{2}r^{2}+9M^{2}nr+9M^{3}]$

где $2n=(l-1)(l+2)$ и $l=2,3,4,\dots$ характеризует собственную моду $\theta$ координировать. Для гравитационных возмущений моды $l=0,\,1$ не имеют значения, поскольку они не меняются со временем. Физически гравитационные возмущения с $l=0$ (монопольный) режим представляет собой изменение массы черной дыры, тогда как $l=1$ (дипольный) режим соответствует сдвигу местоположения и значения углового момента черной дыры. Форма вышеуказанных потенциалов представлена ​​на рисунке.

Помните, что в координате черепахи $r_{*}\rightarrow -\infty$ обозначает горизонт событий и $r_{*}\rightarrow \infty$ эквивалентно $r\rightarrow \infty$ т. е. на расстояния, далекие от заднего отверстия. Потенциалы короткодействующие, поскольку они затухают быстрее, чем $1/r_{*}$; как $r_{*}\rightarrow \infty$ у нас есть $V^{\pm }\rightarrow 2(n+1)/r^{2}$ и как $r_{*}\rightarrow -\infty$, у нас есть $V^{\pm }\sim e^{r_{*}/2M}.$ Следовательно, асимптотическое поведение решений для $r_{*}\rightarrow \pm \infty$ является $e^{\pm i\sigma r_{*}}.$

Связь между двумя проблемами

В 1975 году Субраманьян Чандрасекхар и Стивен Детвейлер обнаружили взаимно однозначное отображение между двумя уравнениями, что привело к тому, что спектр, соответствующий обоим потенциалам, идентичен. Оба потенциала также можно записать как

$V^{\pm }=\pm 6M{\frac {df}{dr_{*}}}+(6Mf)^{2}+4n(n+1)f,\quad f={\frac {r^{2}-2Mr}{2r^{3}(nr+3M)}}.$

Отношения между $Z^{+}$ и $Z^{-}$ даны

$[4n(n+1)\pm 12i\sigma M]Z^{\pm }=\left[4n(n+1)+{\frac {72M^{2}(r^{2}-2Mr)}{r^{3}(2nr+6M)}}\right]Z^{\mp }\pm 12M{\frac {dZ^{\mp }}{dr_{*}}}.$

Коэффициенты отражения и передачи

Коэффициенты отражения, обусловленные потенциалами Редже-Уиллера-Церилли.

Здесь $V^{\pm }$ всегда положительна, и речь идет об отражении и передаче волн, падающих от $r_{*}\rightarrow \infty$ к $r_{*}\rightarrow -\infty$. По сути, эта задача аналогична задаче об отражении и передаче потенциальным барьером в квантовой механике. Пусть падающая волна единичной амплитуды равна $e^{+i\sigma r_{*}}$, то асимптотическое поведение решения определяется выражением

$Z^{\pm }=e^{+i\sigma r_{*}}+R^{\pm }e^{-i\sigma r_{*}}\quad {\text{as}}\quad r_{*}\rightarrow +\infty$

$Z^{\pm }=T^{\pm }e^{i\sigma r_{*}}\quad {\text{as}}\quad r_{*}\rightarrow -\infty$

где $R=R(\sigma )$ и $T=T(\sigma )$ – соответственно амплитуды отражения и прохождения. Во втором уравнении мы наложили физическое требование, чтобы волны не выходили из горизонта событий.

Таким образом, коэффициенты отражения и прохождения определяются как

${\mathcal {R}}^{\pm }=|R^{\pm }|^{2},\quad {\mathcal {T}}^{\pm }=|T^{\pm }|^{2}$

подчиняется условию ${\mathcal {R}}^{\pm }+{\mathcal {T}}^{\pm }=1.$ Из-за внутренней связи между двумя уравнениями, как описано в предыдущем разделе, оказывается, что

$T^{+}=T^{-},\quad R^{+}=e^{i\delta }R^{-},\quad e^{i\delta }={\frac {n(n+1)-3i\sigma M}{n(n+1)+3i\sigma M}}$

и, следовательно, поскольку $R^{+}$ и $R^{-}$ отличаются только фазами, получаем

${\mathcal {T}}\equiv {\mathcal {T}}^{+}={\mathcal {T}}^{-},\quad {\mathcal {R}}\equiv {\mathcal {R}}^{+}={\mathcal {R}}^{-}.$

Из рисунка коэффициента отражения видно, что мелкочастотные возмущения легко отражаются черной дырой, тогда как высокочастотные поглощаются черной дырой.

Квазинормальные режимы

Квазинормальные моды соответствуют чистым тонам черной дыры. Он описывает произвольные, но малые возмущения, такие как падение объекта в черную дыру, аккреция окружающей его материи, последняя стадия слегка асферического коллапса и т. д. В отличие от проблемы коэффициента отражения и прохождения, квазинормальные моды характеризуются сложными ценится $\sigma$с конвенцией $\mathrm {Re} \{\sigma \}>0$. Требуемые граничные условия:

$Z^{\pm }=A^{\pm }e^{-i\sigma r_{*}}\quad {\text{as}}\quad r_{*}\rightarrow +\infty$

$Z^{\pm }=e^{i\sigma r_{*}}\quad {\text{as}}\quad r_{*}\rightarrow -\infty$

что указывает на то, что мы имеем чисто уходящие волны с амплитудой $A^{\pm }$ и чисто набегающие волны на горизонте.

Проблема становится проблемой собственных значений. Квазинормальные моды имеют тип затухания во времени, хотя эти волны расходятся в пространстве как $r^{*}\to \pm \infty$ (это связано с неявным предположением, что возмущение в квазинормальных режимах «бесконечное» в далеком прошлом) . Опять же, из-за упомянутой связи между двумя проблемами, спектр $Z^{+}$ и $Z^{-}$ идентичны, и поэтому этого достаточно, чтобы рассмотреть спектр $Z^{-}.$ Задача упрощается введением

$Z^{-}=\exp \left(i\int ^{r_{*}}\phi \,dr_{*}\right).$

Нелинейная проблема собственных значений задается формулой

$i{\frac {d\phi }{dr_{*}}}+\sigma ^{2}-\phi ^{2}-V^{-}=0,\quad \phi (-\infty )=+\sigma ,\quad \phi (+\infty )=-\sigma .$

Установлено, что решение существует только для дискретного набора значений $\sigma .$ Из этого уравнения также следует тождество

$-2i\sigma +\int _{-\infty }^{+\infty }(\sigma ^{2}-\phi ^{2})dr_{*}=\int _{-\infty }^{+\infty }V^{-}dr_{*}={\frac {4n+1}{4M}}.$

См. также

• Уравнения Чандрасекара – Пейджа
• Уравнения Теукольского