Уравнения Чандрасекара – Пейджа

Уравнения Чандрасекара-Пейджа описывают волновую функцию со спином 1/2 массивных частиц , возникшую в результате поиска разделимого решения уравнения Дирака в метрике Керра или метрике Керра-Ньюмана . В 1976 году Субраманьян Чандрасекхар показал, что разделимое решение можно получить из уравнения Дирака в метрике Керра . Позже Дон Пейдж расширил эту работу до метрики Керра-Ньюмана , применимой к заряженным черным дырам. В своей статье Пейдж отмечает, что Н. Туп также получил свои результаты независимо, о чем ему сообщил Чандрасекар.

Предполагая нормальное разложение по моде вида $e^{i(\sigma t+m\phi )}$ (с $m$ быть полуцелым числом и с соглашением $\mathrm {Re} \{\sigma \}>0$) для времени и азимутальной составляющей сферических полярных координат $(r,\theta ,\phi )$Чандрасекар показал, что четыре биспинорных компонента волновой функции:

${\begin{bmatrix}F_{1}(r,\theta )\\F_{2}(r,\theta )\\G_{1}(r,\theta )\\G_{2}(r,\theta )\end{bmatrix}}e^{i(\sigma t+m\phi )}$

может быть выражено как произведение радиальной и угловой функций. Разделение переменных осуществляется для функций $f_{1}=(r-ia\cos \theta )F_{1}$, $f_{2}=(r-ia\cos \theta )F_{2}$, $g_{1}=(r+ia\cos \theta )G_{1}$ и $g_{2}=(r+ia\cos \theta )G_{2}$ (с $a$ — угловой момент на единицу массы черной дыры), как в

$f_{1}(r,\theta )=R_{-{\frac {1}{2}}}(r)S_{-{\frac {1}{2}}}(\theta ),\quad f_{2}(r,\theta )=R_{+{\frac {1}{2}}}(r)S_{+{\frac {1}{2}}}(\theta ),$

$g_{1}(r,\theta )=R_{+{\frac {1}{2}}}(r)S_{-{\frac {1}{2}}}(\theta ),\quad g_{2}(r,\theta )=R_{-{\frac {1}{2}}}(r)S_{+{\frac {1}{2}}}(\theta ).$

Угловые уравнения Чандрасекара – Пейджа

Угловые функции удовлетворяют связанным уравнениям на собственные значения:

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}S_{+{\frac {1}{2}}}&=-(\lambda -a\mu \cos \theta )S_{-{\frac {1}{2}}},\\{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }S_{-{\frac {1}{2}}}&=+(\lambda +a\mu \cos \theta )S_{+{\frac {1}{2}}},\end{aligned}}$

где $\mu$ частицы — масса покоя (измеряется в единицах, обратная комптоновской длине волны ),

${\mathcal {L}}_{n}={\frac {d}{{d}\theta }}+Q+n\cot \theta ,\quad {\mathcal {L}}_{n}^{\dagger }={\frac {d}{{d}\theta }}-Q+n\cot \theta$

и $Q=a\sigma \sin \theta +m\csc \theta$. Устранение $S_{+1/2}(\theta )$ между двумя предыдущими уравнениями можно получить

$\left({\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }+{\frac {a\mu \sin \theta }{\lambda +a\mu \cos \theta }}{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }+\lambda ^{2}-a^{2}\mu ^{2}\cos ^{2}\theta \right)S_{-{\frac {1}{2}}}=0.$

Функция $S_{+{\frac {1}{2}}}$ удовлетворяет сопряженному уравнению, которое можно получить из приведенного выше уравнения заменой $\theta$ с $\pi -\theta$. Граничные условия для этих дифференциальных уравнений второго порядка таковы: $S_{-{\frac {1}{2}}}$(и $S_{+{\frac {1}{2}}}$) быть регулярным в $\theta =0$ и $\theta =\pi$. Представленная здесь проблема собственных значений, как правило, требует для своего решения численного интегрирования. Явные решения имеются для случая, когда $\sigma =\mu$.

Радиальные уравнения Чандрасекара – Пейджа

Соответствующие радиальные уравнения имеют вид

${\begin{aligned}\Delta ^{\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{0}R_{-{\frac {1}{2}}}&=(\lambda +i\mu r)\Delta ^{\frac {1}{2}}R_{+{\frac {1}{2}}},\\\Delta ^{\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{0}^{\dagger }R_{+{\frac {1}{2}}}&=(\lambda -i\mu r)R_{-{\frac {1}{2}}},\end{aligned}}$

где $\Delta =r^{2}-2Mr+a^{2},$ $M$ — масса черной дыры,

${\mathcal {D}}_{n}={\frac {d}{{d}r}}+{\frac {iK}{\Delta }}+2n{\frac {r-M}{\Delta }},\quad {\mathcal {D}}_{n}^{\dagger }={\frac {d}{{d}r}}-{\frac {iK}{\Delta }}+2n{\frac {r-M}{\Delta }},$

и $K=(r^{2}+a^{2})\sigma +am.$ Устранение $\Delta ^{\frac {1}{2}}R_{+{\frac {1}{2}}}$ из двух уравнений получаем

$\left(\Delta {\mathcal {D}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }{\mathcal {D}}_{0}-{\frac {i\mu \Delta }{\lambda +i\mu r}}{\mathcal {D}}_{0}-\lambda ^{2}-\mu ^{2}r^{2}\right)R_{-{\frac {1}{2}}}=0.$

Функция $\Delta ^{\frac {1}{2}}R_{+{\frac {1}{2}}}$ удовлетворяет соответствующему комплексно-сопряженному уравнению.

Сведение к одномерной задаче рассеяния

Задача о решении радиальных функций для конкретного собственного значения $\lambda$ из угловых функций можно свести к задаче отражения и передачи, как в одномерном уравнении Шредингера ; см. также уравнения Редже–Уиллера–Церилли . В частности, мы приходим к уравнениям

$\left({\frac {d^{2}}{d{\hat {r}}_{*}^{2}}}+\sigma ^{2}\right)Z^{\pm }=V^{\pm }Z^{\pm },$

где потенциалы Чандрасекара–Пейджа $V^{\pm }$ определяются

$V^{\pm }=W^{2}\pm {\frac {dW}{d{\hat {r}}_{*}}},\quad W={\frac {\Delta ^{\frac {1}{2}}(\lambda +\mu ^{2}r^{2})^{3/2}}{\varpi ^{2}(\lambda ^{2}+\mu ^{2}r^{2})+\lambda \mu \Delta /2\sigma }},$

и ${\hat {r}}_{*}=r_{*}+\tan ^{-1}(\mu r/\lambda )/2\sigma$, $r_{*}=r+2M\ln(r/2M-1)$ - координата черепахи и $\varpi ^{2}=r^{2}+a^{2}+am/\sigma$. Функции $Z^{\pm }({\hat {r}}_{*})$ определяются $Z^{\pm }=\psi ^{+}\pm \psi ^{-}$, где

$\psi ^{+}=\Delta ^{\frac {1}{2}}R_{+{\frac {1}{2}}}\mathrm {exp} \left(+{\frac {i}{2}}\tan ^{-1}{\frac {\mu r}{\lambda }}\right),\quad \psi ^{-}=R_{-{\frac {1}{2}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {i}{2}}\tan ^{-1}{\frac {\mu r}{\lambda }}\right).$

В отличие от потенциалов Редже–Уиллера–Церилли , потенциалы Чандрасекара–Пейджа не обращаются в нуль при $r\to \infty$, но имеет поведение

$V^{\pm }=\mu ^{2}\left(1-{\frac {2M}{r}}+\cdots \right).$

В результате соответствующие асимптотики для $Z^{\pm }$ как $r\to \infty$ становится

$Z^{\pm }=\mathrm {exp} \left\{\pm i\left[(\sigma ^{2}-\mu ^{2})^{1/2}r+{\frac {M\mu ^{2}}{(\sigma ^{2}-\mu ^{2})^{1/2}}}\ln {\frac {r}{2M}}\right]\right\}.$