Метод Харди Кросса

Метод Харди Кросса — это итерационный метод определения расхода в системах трубопроводных сетей, где входы и выходы известны, но расход внутри сети неизвестен. ^{[ 1 ]} Метод был впервые опубликован в ноябре 1936 года его тезкой Харди Кроссом , профессором строительной инженерии в Университете Иллинойса в Урбане-Шампейне . ^{[ 2 ]} Метод Харди Кросса является адаптацией метода распределения моментов , который также был разработан Харди Кроссом как способ определения сил в статически неопределимых конструкциях.

Внедрение метода Харди Кросса для анализа трубопроводных сетей произвело революцию в проектировании муниципального водоснабжения . До того, как этот метод был внедрен, решение сложных трубопроводных систем для распределения было чрезвычайно трудным из-за нелинейной зависимости между потерей напора и расходом. Позже этот метод устарел из-за компьютерных алгоритмов решения, использующих метод Ньютона-Рафсона или другие численные методы, которые устраняют необходимость решать нелинейные системы уравнений вручную.

История

В 1930 году Харди Кросс опубликовал статью под названием «Анализ непрерывных рамок путем распределения фиксированных моментов», в которой он описал метод распределения моментов , который изменил способ, которым инженеры в этой области выполняли структурный анализ. ^{[ 3 ]} Метод распределения моментов использовался для определения сил в статически неопределимых конструкциях и позволял инженерам безопасно проектировать конструкции с 1930-х по 1960-е годы, вплоть до разработки компьютерно-ориентированных методов. ^{[ 3 ]} В ноябре 1936 года Кросс применил тот же геометрический метод для решения задач распределения потока в трубопроводной сети и опубликовал статью под названием «Анализ потока в сетях трубопроводов или проводников». ^{[ 1 ]}

Вывод

Метод Харди Кросса представляет собой применение непрерывности потока и непрерывности потенциала для итеративного расчета потоков в трубопроводной сети. ^{[ 1 ]} В случае потока в трубе сохранение потока означает, что входящий поток равен выходящему в каждом соединении трубы. Сохранение потенциала означает, что общая потеря напора в любом направлении в любом контуре системы равна нулю (при условии, что потеря напора, учитываемая против потока, на самом деле является увеличением напора).

Харди Кросс разработал два метода решения потоковых сетей. Каждый метод начинается с поддержания либо непрерывности потока, либо потенциала, а затем итеративно находит решение для другого.

Предположения

Метод Харди Кросса предполагает, что поток, входящий и выходящий из системы, известен, а также известны или могут быть допущены длина, диаметр, шероховатость и другие ключевые характеристики трубы. ^{[ 1 ]} Этот метод также предполагает, что связь между расходом и потерей напора известна, но метод не требует использования какого-либо конкретного соотношения. ^{[ 1 ]}

В случае течения воды по трубам разработан ряд методов определения связи между потерей напора и расходом. Метод Харди Кросса позволяет использовать любое из этих отношений.

Общая взаимосвязь между потерей напора и расходом такова:

h_{f}=k\cdot Q^{n}

где k — потеря напора на единицу расхода, а n — показатель степени расхода. В большинстве проектных ситуаций значения, составляющие k , такие как длина, диаметр и шероховатость трубы, считаются известными или предполагаемыми, и, таким образом, значение k можно определить для каждой трубы в сети. Значения, составляющие k, и значение n изменяются в зависимости от соотношения, используемого для определения потери напора. Однако все отношения совместимы с методом Харди Кросса. ^{[ 4 ]}

Уравнение потери напора	Связь	к	н
Уравнение Хейзена-Вильямса	$h_{f}=L\cdot {\frac {10.67\quad Q^{1.85}}{C^{1.85}\quad d^{4.87}}}$	$L\cdot {\frac {10.67}{C^{1.85}\quad d^{4.87}}}$	1.85
Уравнение Дарси-Вейсбаха	$h_{f}={\frac {8fLQ^{2}}{g\pi ^{2}d^{5}}}$	$L\cdot {\frac {8f}{g\pi ^{2}d^{5}}}$	2

Также стоит отметить, что метод Харди Кросса можно использовать для решения простых схем и других потокоподобных ситуаций. В случае простых цепей

V=K\cdot I

эквивалентно

h_{f}=k\cdot Q^{n}

.

Установив коэффициент k равным K, расход Q равным I и показатель степени n равным 1, метод Харди Кросса можно использовать для решения простой схемы. Однако, поскольку связь между падением напряжения и током линейна, метод Харди Кросса не требуется, и схему можно решить, используя неитеративные методы.

Метод балансировки головок

Метод балансировки напоров использует первоначальное предположение, которое удовлетворяет непрерывности потока в каждом соединении, а затем уравновешивает потоки до тех пор, пока непрерывность потенциала не будет также достигнута в каждом контуре системы. ^{[ 1 ]}

Доказательство (r обозначает k)

Следующее доказательство взято из статьи Харди Кросса «Анализ потока в сетях каналов или проводников». ^{[ 1 ]} и может быть проверено на странице Национальной программы по расширенному обучению технологиям водоснабжения и водоотведения, ^{[ 4 ]} и «Основы гидротехнических систем» Роберта Дж. Хоуталена. ^{[ 5 ]}

Если первоначальное предположение о расходе в каждой трубе верно, изменение напора в контуре системы, $\Sigma rQ^{n}$ будет равен нулю. Однако если первоначальное предположение неверно, то изменение напора будет ненулевым, а изменение расхода $\Delta Q$ необходимо применить. Новый расход, $Q=Q_{0}+\Delta Q$ представляет собой сумму старого расхода и некоторого изменения расхода, при котором изменение напора в контуре равно нулю. Тогда сумма изменения напора в новом цикле будет равна $\Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}=0$ .

Стоимость $\Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}$ может быть аппроксимировано с помощью разложения Тейлора .

\Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}=\Sigma r(Q_{0}^{n}+nQ_{0}^{n-1}\Delta Q+...)=0

Для небольшого $\Delta Q$ по сравнению с $Q_{0}$ дополнительные члены исчезают, остается:

\Sigma r(Q_{0}^{n}+nQ_{0}^{n-1}\Delta Q)=0

И решение для $\Delta Q$

\Sigma rQ_{0}^{n}=-\Sigma nrQ_{0}^{n-1}\Delta Q

\Delta Q=-{\frac {\Sigma rQ_{0}^{n}}{\Sigma nrQ_{0}^{n-1}}}

Изменение потока, которое уравновесит напор над петлей, аппроксимируется выражением $\Delta Q=-{\frac {\Sigma rQ_{0}^{n}}{\Sigma nrQ_{0}^{n-1}}}$ . Однако это лишь приближение из-за членов, которые были проигнорированы в разложении Тейлора . Изменение заголовка в цикле может быть не нулевым, но оно будет меньше первоначального предположения. Множественные итерации поиска нового $\Delta Q$ будет приближаться к правильному решению. ^{[ 1 ]}

Процесс

Метод заключается в следующем:

Угадайте потоки в каждой трубе, убедившись, что общий приток равен общему расходу на выходе в каждом соединении. (Предположение не обязательно должно быть точным, но хорошее предположение сократит время, необходимое для поиска решения.)
Определите каждый замкнутый контур в системе.
Для каждого контура определите потери напора по часовой стрелке и потери напора против часовой стрелки. Потери напора в каждой трубе рассчитываются по формуле $h_{f}=rQ^{n}$ . Потери напора по часовой стрелке связаны с потоками, движущимися по часовой стрелке, а также против часовой стрелки.
Определите общую потерю напора в каждом контуре, $\Sigma rQ^{n}$ , вычитая потерю напора против часовой стрелки из потери напора по часовой стрелке.
Для каждой петли найдите $\Sigma nrQ^{n-1}$ без привязки к направлению (все значения должны быть положительными).
Изменение потока равно ${\frac {\Sigma rQ^{n}}{\Sigma nrQ^{n-1}}}$ .
Если изменение расхода положительное, примените его ко всем трубам контура против часовой стрелки. Если изменение расхода отрицательное, примените его ко всем трубам контура по часовой стрелке.
Продолжайте с шага 3 до тех пор, пока изменение расхода не окажется в удовлетворительном диапазоне.

Метод балансировки потоков (раздел неполный)

Метод балансировки потоков использует первоначальное предположение, которое удовлетворяет непрерывности потенциала в каждом контуре, а затем уравновешивает потоки до тех пор, пока непрерывность потока также не будет достигнута в каждом соединении.

Преимущества метода Харди Кросса

Простая математика

Метод Харди Кросса полезен, поскольку он опирается только на простую математику и не требует решения системы уравнений. Без методов Харди Кросса инженерам пришлось бы решать сложные системы уравнений с переменными показателями степени, которые нелегко решить вручную.

Самокоррекция

Метод Харди Кросса итеративно исправляет ошибки в первоначальном предположении, использованном для решения проблемы. ^{[ 1 ]} Последующие ошибки в расчете также итеративно исправляются. Если метод соблюдается правильно, правильный расход в каждой трубе все равно можно найти, даже если в процессе постоянно допускаются небольшие математические ошибки. Пока последние несколько итераций выполняются с вниманием к деталям, решение все равно будет правильным. Фактически, можно намеренно исключить десятичные дроби на ранних итерациях метода, чтобы ускорить вычисления.

Пример

Метод Харди Кросса можно использовать для расчета распределения потока в трубопроводной сети. Рассмотрим пример простой трубопроводной сети, показанной справа. В этом примере входящий и исходящий потоки составят 10 литров в секунду. Мы будем считать n равным 2, а потерю напора на единицу расхода r и предполагаемый начальный расход для каждой трубы следующим образом:

Трубка	Вопрос 12	Вопрос 13	Вопрос 23	Вопрос 24	Вопрос 34
р	1	5	1	5	1
Q предположение (л/с)	5	5	0	5	5

Мы решаем сеть методом балансировки головок, следуя шагам, описанным в методе выше.

1. Первоначальные предположения настроены таким образом, чтобы обеспечить непрерывность потока на каждом узле сети.

2. Петли системы обозначаются как петли 1-2-3 и петли 2-3-4.

3. Определяются потери напора в каждой трубе.

Петля 1-2-3	Вопрос 12	Вопрос 13	Вопрос 23
Потеря напора = $rQ^{2}$	25	125	0
Направление	по часовой стрелке	Против часовой стрелки	по часовой стрелке

Для контура 1-2-3 сумма потерь напора по часовой стрелке равна 25, а сумма потерь напора против часовой стрелки равна 125.

Петля 2-3-4	Вопрос 23	Вопрос 24	Вопрос 34
Потеря напора = $rQ^{2}$	0	125	25
Направление	Против часовой стрелки	по часовой стрелке	Против часовой стрелки

Для контура 2-3-4 сумма потерь напора по часовой стрелке равна 125, а сумма потерь напора против часовой стрелки равна 25.

4. Общая потеря напора по часовой стрелке в контуре 1-2-3 равна $25-125=-100$ . Полная потеря напора по часовой стрелке в контуре 2-3-4 равна $125-25=100$ .

5. Ценность $\Sigma nrQ^{n-1}$ определяется для каждого цикла. В обеих петлях оно оказывается равным 60 (из-за симметрии), как показано на рисунке.

6. Изменение расхода находится для каждого контура по уравнению ${\frac {\Sigma rQ^{n}}{\Sigma nrQ^{n-1}}}$ . Для контура 1-2-3 изменение расхода равно $-100/60=-1.66$ а для контура 2-3-4 изменение расхода равно $100/60=1.66$ .

7. Изменение потока применяется ко всем контурам. Для контура 1-2-3 изменение расхода отрицательно, поэтому его абсолютное значение применяется в направлении по часовой стрелке. Для контура 2-3-4 изменение расхода положительное, поэтому его абсолютное значение применяется в направлении против часовой стрелки. Для трубы 2-3, которая находится в обоих контурах, изменения расхода суммируются.

Трубка	Вопрос 12	Вопрос 13	Вопрос 23	Вопрос 24	Вопрос 34
Q (л/с)	6.66	3.33	3.33	3.33	6.66

Затем процесс повторяется, начиная с шага 3, пока изменение расхода не станет достаточно небольшим или не станет равным нулю.

3. Суммарная потеря напора в контуре 1-2-3 равна

Петля 1-2-3	Вопрос 12	Вопрос 13	Вопрос 23
Потеря напора = $rQ^{2}$	44.4	55.5	11.1
Направление	по часовой стрелке	Против часовой стрелки	по часовой стрелке

Обратите внимание, что потеря напора по часовой стрелке равна потере напора против часовой стрелки. Это означает, что поток в этом контуре сбалансирован и скорости потока правильные. Общие потери напора в контуре 2-3-4 также будут сбалансированы (опять же из-за симметрии).

Петля 2-3-4	Вопрос 23	Вопрос 24	Вопрос 34
Потеря напора = $rQ^{2}$	11.1	55.5	44.4
Направление	Против часовой стрелки	по часовой стрелке	Против часовой стрелки

В данном случае метод нашел правильное решение за одну итерацию. Для других сетей может потребоваться несколько итераций, пока потоки в трубах не станут правильными или приблизительно правильными.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Кросс, Х. (ноябрь 1936 г.). «Анализ потоков в сетях трубопроводов или проводников» . Инженерно-экспериментальная станция . Бюллетень № 286.
^ «Харди Кросс; педагог, аналитик, инженер, философ» . Архивировано из оригинала 9 августа 2011 года . Проверено 3 мая 2011 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Леонард К. Итон. «Харди Кросс и «Метод распределения моментов» » . Проверено 10 апреля 2011 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Водное и водоотведение» . Архивировано из оригинала 12 марта 2008 года . Проверено 11 апреля 2011 г.
^ Роберт Дж. Хаутален (2009). Основы гидротехнических систем . ISBN 9780136016380 . Проверено 10 апреля 2011 г.

[HC-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Кросс, Х. (ноябрь 1936 г.). «Анализ потоков в сетях трубопроводов или проводников» . Инженерно-экспериментальная станция . Бюллетень № 286.

[2] «Харди Кросс; педагог, аналитик, инженер, философ» . Архивировано из оригинала 9 августа 2011 года . Проверено 3 мая 2011 г.

[MDM-3] Перейти обратно: ^а ^б Леонард К. Итон. «Харди Кросс и «Метод распределения моментов» » . Проверено 10 апреля 2011 г.

[IN-4] Перейти обратно: ^а ^б «Водное и водоотведение» . Архивировано из оригинала 12 марта 2008 года . Проверено 11 апреля 2011 г.

[FHES-5] Роберт Дж. Хаутален (2009). Основы гидротехнических систем . ISBN 9780136016380 . Проверено 10 апреля 2011 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]