Энергия узла

В физической теории узлов является энергия узла функционалом пространства всех конформаций узла. Конформация узла — это частное вложение окружности в трехмерное пространство. В зависимости от потребностей энергетической функции пространство конформаций ограничивается классом с достаточно хорошим поведением . Например, можно рассматривать только многоугольные круги или C ² функции. Свойство функционала часто требует, чтобы эволюция узла при градиентном спуске не меняла тип узла.

Электрический заряд

Самый распространенный тип энергии узла возникает из-за интуитивного восприятия узла как электрически заряженного . Закон Кулона гласит, что два электрических заряда одного знака будут отталкиваться друг друга пропорционально квадрату расстояния . Таким образом, узел будет развиваться при градиентном спуске в соответствии с электрическим потенциалом до идеальной конфигурации, которая минимизирует электростатическую энергию. При наивном определении интеграл для энергии будет расходиться, и потребуется физический трюк с регуляризацией, вычитающий член из энергии. Кроме того, узел может менять тип узла в процессе эволюции, если не самопересечения предотвращены .

Вариации

Электростатическая энергия многоугольных узлов была изучена Фукухарой в 1987 году. ^{[ 1 ]} и вскоре после этого Сакума изучил другую, геометрическую энергию. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} В 1988 году Джун О'Хара определил энергию узла, основанную на электростатической энергии, энергии Мёбиуса . ^{[ 4 ]} Фундаментальное свойство энергетической функции О'Хара состоит в том, что существуют бесконечные энергетические барьеры для прохождения узла через себя. С некоторыми дополнительными ограничениями О'Хара показал, что существует только конечное число типов узлов с энергией меньше заданного предела. Позже Фридман, Хэ и Ван сняли эти ограничения. ^{[ 5 ]}

Ссылки

^ Фукухара, Синдзи (1988), «Энергия узла», Праздник топологии , Academic Press, Бостон, Массачусетс, стр. 443–451, MR 0928412 .
^ Сакума, М. (1987), «Проблема № 8», Кодзима, С.; Негами С. (ред.), Сборник задач «Маломерная топология и связанные с ней вопросы» (на японском языке), стр. 7 . Цитируется Ланжевеном и О'Хара (2005) .
^ Ланжевен, Р.; О'Хара, Дж. (2005), «Конформно-инвариантные энергии узлов», Журнал Института математики Жюссье , 4 (2): 219–280, arXiv : math.GT/0409396 , doi : 10.1017/S1474748005000058 , МР 2135138 .
^ О'Хара, июнь (1991), «Энергия узла», Топология , 30 (2): 241–247, doi : 10.1016/0040-9383(91)90010-2 , MR 1098918 .
^ Фридман, Майкл Х .; Он, Чжэн-Сюй; Ван, Чжэнхань (1994), «Энергия Мёбиуса узлов и узлов», Annals of Mathematics , Second Series, 139 (1): 1–50, doi : 10.2307/2946626 , MR 1259363 .

[1] Фукухара, Синдзи (1988), «Энергия узла», Праздник топологии , Academic Press, Бостон, Массачусетс, стр. 443–451, MR 0928412 .

[2] Сакума, М. (1987), «Проблема № 8», Кодзима, С.; Негами С. (ред.), Сборник задач «Маломерная топология и связанные с ней вопросы» (на японском языке), стр. 7 . Цитируется Ланжевеном и О'Хара (2005) .

[3] Ланжевен, Р.; О'Хара, Дж. (2005), «Конформно-инвариантные энергии узлов», Журнал Института математики Жюссье , 4 (2): 219–280, arXiv : math.GT/0409396 , doi : 10.1017/S1474748005000058 , МР 2135138 .

[4] О'Хара, июнь (1991), «Энергия узла», Топология , 30 (2): 241–247, doi : 10.1016/0040-9383(91)90010-2 , MR 1098918 .

[5] Фридман, Майкл Х .; Он, Чжэн-Сюй; Ван, Чжэнхань (1994), «Энергия Мёбиуса узлов и узлов», Annals of Mathematics , Second Series, 139 (1): 1–50, doi : 10.2307/2946626 , MR 1259363 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]