Тройная кубическая

В математике троичная кубическая форма — это однородный полином 3-й степени от трёх переменных.

Инвариантная теория

Тернарная кубика - один из немногих случаев формы степени больше 2 с более чем двумя переменными, кольцо инвариантов которой было явно вычислено в 19 веке.

Кольцо инвариантов

Алгебра инвариантов тернарной кубики относительно SL ₃ ( C ) представляет собой полиномиальную алгебру, порожденную двумя инвариантами S и T степеней 4 и 6, называемыми инвариантами Аронхольда. Инварианты довольно сложны, если их записать в виде многочленов от коэффициентов тройной кубики, и они явно даны в ( Штурмфельс 1993 , 4.4.7, 4.5.3).

Кольцо ковариантов

Кольцо ковариантов задается следующим образом. ( Долгачев 2012 , 3.4.3)

Тождественный ковариант U тернарной кубики имеет степень 1 и порядок 3.

Гессиан H является ковариантом троичных кубик степени 3 и порядка 3.

Существует ковариант G троичных кубик степени 8 и порядка 6, обращающийся в нуль в точках x, лежащих наКоника Лосося полярной точки x относительно кривой и ее кривой Гессе.

Ковариант Бриоши J — это якобиан U , G и H степени 12, порядка 9.

Алгебра ковариантов троичной кубики генерируется над кольцом инвариантов U , G , H и J с учетом того, что квадрат J является полиномом от других генераторов.

Кольцо контрвариантов

( Долгачев 2012 , 3.4.3)

Передача Клебша дискриминанта бинарной кубики является контравариантом F троичных кубиков степени 4 и класса 6, дающим двойственную кубику кубической кривой.

Кэлиан троичной кубики является P контравариантом степени 3 и класса 3.

Киппиан . Q троичной кубики является контравариантом степени 5 и класса 3

Контравариант Эрмита Π — еще один контравариант троичных кубик степени 12 и класса 9.

Кольцо контравариантов порождается над кольцом инвариантов F , P , Q и Π с соотношением, что Π ² является полиномом в остальных генераторах.

Кольцо сопутствующих

Гордан (1869) и Кэли (1881) описали кольцо сопутствующих веществ, дав 34 образующих.

Перенос Клебша гессиана двоичной кубики является сопутствующим фактором степени 2, порядка 2 и класса 2.

Перенос Клебша якобиана тождественного коварианта и гессиана бинарной кубики является сопутствующим троичным кубикам степени 3, класса 3 и порядка 3.

См. также

Ссылки

Кэли, Артур (1881), «О 34 сопутствующих троичных кубических числах» , Американский журнал математики , 4 (1): 1–15, doi : 10.2307/2369145 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2369145
Долгачев, Игорь В. (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8
Гордан, Пол (1869), «О троичных формах третьей степени» , Mathematical Annals , 1 : 90–128, doi : 10.1007/bf01447388 , ISSN 0025-5831 , S2CID 123421707
Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Тексты и монографии по символическим вычислениям, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , CiteSeerX 10.1.1.39.2924 , doi : 10.1007/978-3-211-77417-5 , ISBN 978-3-211-82445-0 , МР 1255980