Тест Дурбина – Ву – Хаусмана

Тест Дурбина-Ву-Хаусмана (также называемый тестом спецификации Хаусмана ) — это тест статистической гипотезы в эконометрике, названный в честь Джеймса Дурбина , Де-Мина Ву и Джерри А. Хаусмана . Тест оценивает согласованность оценщика по сравнению с альтернативным, менее эффективным оценщиком, о непротиворечивости которого уже известно. Это помогает оценить, соответствует ли статистическая модель данным.

Подробности

Рассмотрим линейную модель y = Xb + e , где y — зависимая переменная, X — вектор регрессоров , b — вектор коэффициентов, а e — член ошибки . есть две оценки для b : b0 _У и b1 _нас . При нулевой гипотезе обе эти оценки непротиворечивы , но b ₁ эффективен содержащих (имеет наименьшую асимптотическую дисперсию), по крайней мере, в классе оценок, b ₀ . Согласно альтернативной гипотезе , b ₀ является согласованным, тогда как b ₁ — нет.

Тогда Ву – Хаусмана статистика будет:

$H=(b_{1}-b_{0})'{\big (}\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1}){\big )}^{\dagger }(b_{1}-b_{0}),$

где ^† обозначает псевдообратную функцию Мура–Пенроуза . При нулевой гипотезе эта статистика имеет асимптотически распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным рангу матрицы Var( b ₀ ) − Var( b ₁ ) .

Если мы отвергаем нулевую гипотезу, это означает, что b ₁ противоречива. Этот тест можно использовать для проверки эндогенности переменной (путем сравнения оценок инструментальной переменной (IV) с оценками обычных наименьших квадратов (OLS)). Его также можно использовать для проверки достоверности дополнительных инструментов путем сравнения оценок IV с использованием полного набора инструментов Z , которые используют правильное подмножество Z. с оценками IV Обратите внимание: чтобы тест работал в последнем случае, мы должны быть уверены в достоверности подмножества Z и в этом подмножестве должно быть достаточно инструментов для определения параметров уравнения.

Хаусман также показал, что ковариация между эффективной оценкой и разницей между эффективной и неэффективной оценкой равна нулю.

Вывод

Предполагая совместную нормальность оценок.

${\sqrt {N}}{\begin{bmatrix}b_{1}-b\\b_{0}-b\end{bmatrix}}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}\left({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\operatorname {Var} (b_{1})&\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\\\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&\operatorname {Var} (b_{0})\end{bmatrix}}\right)$

Рассмотрим функцию: $q=b_{0}-b_{1}\Rightarrow \operatorname {plim} q=0$

По методу дельты

${\begin{aligned}&{\sqrt {N}}(q-0){\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}\left(0,{\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Var} (b_{1})&\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\\\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&\operatorname {Var} (b_{0})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&\operatorname {Var} (q)=\operatorname {Var} (b_{1})+\operatorname {Var} (b_{0})-2\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\end{aligned}}$

Использование широко используемого результата, показанного Хаусманом, о том, что ковариация эффективной оценки с ее отличием от неэффективной оценки равна нулю, дает

$\operatorname {Var} (q)=\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1})$

Критерий хи-квадрат основан на критерии Вальда.

$H=\chi ^{2}[K-1]=(b_{1}-b_{0})'{\big (}\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1}){\big )}^{\dagger }(b_{1}-b_{0}),$

где ^† обозначает псевдообратку Мура-Пенроуза , а K обозначает размерность вектора b .

Панельные данные

Тест Хаусмана можно использовать для различения модели с фиксированными эффектами и модели со случайными эффектами в панельном анализе . В этом случае случайные эффекты (RE) предпочтительнее в рамках нулевой гипотезы из-за более высокой эффективности, тогда как в альтернативе с фиксированными эффектами (FE) они, по крайней мере, столь же последовательны и, следовательно, предпочтительнее.

	H 0 верно	H 1 верно
b 1 (оценщик RE)	Последовательный Эффективный	непоследовательный
b 0 (оценка FE)	Последовательный Неэффективный	Последовательный

См. также

• Проверка регрессионной модели
• Спецификация статистической модели

Дальнейшее чтение

• Балтаги, Бади Х. (1999). Эконометрика (Второе изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 290–294. ISBN  3-540-63617-Х .
• Биренс, Герман Дж. (1994). Темы углубленной эконометрики . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 89–109. ISBN  0-521-41900-Х .
• Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (1993). Оценка и вывод в эконометрике . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 237–242, 389–395. ISBN  0-19-506011-3 .
• Флоренс, Жан-Пьер; Маримуту, Велаюдом; Пеген-Фейсоль, Анна (2007). Эконометрическое моделирование и логический вывод . Издательство Кембриджского университета. стр. 78–82. ISBN  978-0-521-70006-1 .
• Рууд, Пол А. (2000). Введение в классическую эконометрическую теорию . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 578–585 . ISBN  0-19-511164-8 .