Свердрупская волна

Волна Свердрупа (также известная как волна Пуанкаре или вращательная гравитационная волна). ^[1]) — волна в океане или больших озерах, на которую влияют гравитация и вращение Земли (см. Эффект Кориолиса ).

Для невращающейся жидкости на волны мелкой воды действует только сила тяжести (см. Гравитационная волна ), где фазовую скорость гравитационной волны мелкой воды ( c ) можно записать как

c=(gH)^{1/2}

а групповую скорость ( c _g ) гравитационной волны на мелкой воде можно записать как

c_{\mathrm {g} }=(gH)^{1/2}

т.е.

c=c_{\mathrm {g} }

где g — сила тяжести, λ — длина волны , а H — общая глубина.

Вывод

Когда жидкость вращается, гравитационные волны с достаточно длинной длиной волны (обсуждаемые ниже) также будут подвергаться воздействию вращательных сил. Линеаризованные уравнения мелкой воды с постоянной скоростью вращения f ₀ имеют вид ^[2]

{\frac {\partial u}{\partial t}}-f_{0}v=-g{\frac {\partial h}{\partial x}},

{\frac {\partial v}{\partial t}}+f_{0}u=-g{\frac {\partial h}{\partial y}},

{\frac {\partial h}{\partial t}}+H(u_{x}+v_{y})=0,

где u и v — горизонтальные скорости, а h — мгновенная высота свободной поверхности. Используя анализ Фурье, эти уравнения можно объединить, чтобы найти дисперсионное уравнение для волн Свердрупа:

\omega ^{2}=f_{0}^{2}+gH(k^{2}+l^{2}),

где k и l — волновые числа, связанные с горизонтальным и вертикальным направлениями, и $\omega$ - частота колебаний.

Предельные случаи

При рассмотрении волн Пуанкаре есть два основных режима, представляющих интерес: ^[1]^[2]

Предел коротких волн $(k^{2}+l^{2})\gg {\frac {f_{0}^{2}}{gH}}\qquad {\textrm {or}}\qquad (k^{2}+l^{2})\gg L_{D}^{-1},$ где $L_{D}={\frac {(gH)^{1/2}}{f_{0}}}$ – радиус деформации Россби . В этом пределе дисперсионное уравнение сводится к решению для невращающейся гравитационной волны.
Предел длинных волн $(k^{2}+l^{2})\ll {\frac {f_{0}^{2}}{gH}}\qquad {\textrm {or}}\qquad (k^{2}+l^{2})\ll L_{D}^{-1},$ что выглядит как инерционные колебания, вызванные исключительно вращательными силами.

Решение для одномерного случая

Для волны, бегущей в одном направлении ( $l=0$ ), горизонтальные скорости оказываются равными

u={\frac {\omega }{kH}}H_{0}\cos(kx-\omega t)

v={\frac {f_{0}}{kH}}H_{0}\sin(kx-\omega t).

Это показывает, что включение вращения приведет к тому, что волна будет развивать колебания под углом 90° к распространению волны в противоположную фазу. В общем, это эллиптические орбиты, зависящие от относительной силы гравитации и вращения. В длинноволновом пределе это круговые орбиты, характеризующиеся инерционными колебаниями.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Кунду, ПК и Л.М. Коэн. «Механика жидкости, 638 стр.». Академик, Калифорния (1990).
^ Jump up to: ^а ^б Валлис, Джеффри К. Динамика атмосферных и океанических жидкостей: основы и крупномасштабная циркуляция. Издательство Кембриджского университета, 2006.

См. также

[kundu-1] Jump up to: ^а ^б Кунду, ПК и Л.М. Коэн. «Механика жидкости, 638 стр.». Академик, Калифорния (1990).

[vallis-2] Jump up to: ^а ^б Валлис, Джеффри К. Динамика атмосферных и океанических жидкостей: основы и крупномасштабная циркуляция. Издательство Кембриджского университета, 2006.

[1]

[2]