Стабильность Коши – Рассиаса

Классическая задача Станислава Улама в теории функциональных уравнений состоит в следующем: когда верно, что функция, приближенно удовлетворяющая функциональному уравнению E, должна быть близка к точному решению E ? В 1941 году Дональд Х. Хайерс дал частично утвердительный ответ на этот вопрос в контексте банаховых пространств. Это был первый значительный прорыв и шаг к расширению исследований в этой области. С тех пор было опубликовано большое количество статей, посвященных различным обобщениям проблемы Улама и теоремы Хайерса. В 1978 году Фемистоклу М. Рассиасу удалось расширить теорему Хайерса, рассмотрев неограниченную разность Коши. Он был первым, кто доказал устойчивость линейного отображения в банаховых пространствах. В 1950 г. Т. Аоки доказал частный случай результата Рассиаса, когда данная функция аддитивна. За обширным изложением устойчивости функциональных уравнений в контексте задачи Улама заинтересованному читателю отсылаем к недавней книге С.-М. Юнг, опубликовано Springer, Нью-Йорк, 2011 г. (см. ссылки ниже).

Т.е. Теорема М. Рассиаса привлекла ряд математиков, которые начали заниматься исследованиями в области теории устойчивости функциональных уравнений . Говоря о большом влиянии С.М. Улама , Д.Х. Хайерса и Т. М. Рассиаса по исследованию проблем устойчивости функциональных уравнений, эта концепция называется устойчивостью Хайерса – Улама – Рассиаса .

В частном случае, когда проблема Улама принимает решение для функционального уравнения Коши f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y уравнение E ), говорят, что удовлетворяет устойчивости Коши – Рассиаса . Имя относится к Огюстену-Луи Коши и Фемистоклу М. Рассиасу .

Ссылки

• П.М. Пардалос, П.Г. Георгиев и Х.М. Шривастава (ред.), Нелинейный анализ. Устойчивость, аппроксимация и неравенства. В честь Фемистокла М. Рассиаса по случаю его 60-летия , Спрингер, Нью-Йорк, 2012 г.
• Д. Х. Хайерс, Об устойчивости линейного функционального уравнения , Тр. Натл. акад. наук. США, 27 (1941), 222–224.
• Т.е. М. Рассиас, Об устойчивости линейного отображения в банаховых пространствах , Труды Американского математического общества 72 (1978), 297–300. [Переведено на китайский язык и опубликовано в: Mathematical Advance in Translation , Chinese Academy of Sciences 4 (2009), 382-384.]
• Т.е. М. Рассиас, Об устойчивости функциональных уравнений и проблеме Улама , Acta Applicandae Mathematicae, 62 (1) (2000), 23-130.
• С.-М. Юнг, Устойчивость функциональных уравнений Хайерса-Улама-Рассиаса в нелинейном анализе , Springer, Нью-Йорк, 2011 г., ISBN   978-1-4419-9636-7 .
• Т. Аоки, Об устойчивости линейного преобразования в банаховых пространствах , J. Math. Соц. Япония, 2 (1950), 64–66.
• К.-Г. Парк, Обобщенные квадратичные отображения нескольких переменных , Nonlinear Anal., 57 (2004), 713–722.
• Ж.-Р. Ли и Д.-Ю. Шин, Об устойчивости Коши-Рассиаса обобщенного аддитивного функционального уравнения , J. Math. Анальный. Прил. 339 (1) (2008), 372–383.
• К. Баак, Устойчивость Коши – Рассиаса аддитивных отображений Коши-Йенсена в банаховых пространствах , Acta Math. Синица (английская серия), 15 (1) (1999), 1–11.
• К.-Г. Парк, Гомоморфизмы между JC*-алгебрами Ли и устойчивость по Коши – Рассиасу дифференцирований JC*-алгебр Ли , J. Lie Theory, 15 (2005), 393–414.
• Ж.-Р. Ли, Д.-Ю. Шин, Об устойчивости Коши-Рассиаса функционального уравнения Трифа в C*-алгебрах . Дж. Математика. Анальный. Прил. 296 (1) (2004), 351–363.
• К. Баак, Х.-Ю. Чу и М. С. Мослехян, О неравенстве Коши-Рассиа и линейных отображениях, сохраняющих n-скалярный продукт , Матем. Неравенство. Прил. 9 (3) (2006), 453–464.
• К.-Г. Парк, М. Эшаги Горджи и Х. Ходаи, Подход с неподвижной точкой к устойчивости Коши-Рассиаса общих квадратично-квадратичных отображений типа Йенсена , Bull. Корейская математика. Соц. 47 (2010), вып. 5, 987–996
• А. Нажати, Устойчивость гомоморфизмов по Коши-Рассиасу, связанным с пексидеризованным функциональным уравнением типа Коши-Йенсена , J. ​​Math. Неравенство. 3 (2) (2009), 257-265.
• К.-Г. Парк и С. Янг, Устойчивость Коши-Рассиа полуторалинейных n-квадратичных отображений в банаховых модулях , Rocky Mountain J. Math. 39 (6) (2009), 2015–2027 гг.
• Пл. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями , Спрингер, Нью-Йорк, 2009 г., ISBN   978-0-387-89491-1 .
• ПК Саху и пл. Каннаппан, Введение в функциональные уравнения , CRC Press, Chapman & Hall Book, Флорида, 2011 г., ISBN   978-1-4398-4111-2 .
• Т.е. М. Рассиас и Дж. Брздек (ред.), Функциональные уравнения в математическом анализе , Springer, Нью-Йорк, 2012 г., ISBN   978-1-4614-0054-7 .