Закон полной ковариации

В теории вероятностей действует закон полной ковариации . Формула ковариационного разложения , или формула условной ковариации, , что если X , Y и Z являются случайными величинами в одном и том же вероятностном пространстве , а ковариация X гласит и Y конечна, то

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (\operatorname {cov} (X,Y\mid Z))+\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Z),\operatorname {E} (Y\mid Z)).$

Номенклатура в заголовке этой статьи аналогична фразовому закону полной дисперсии . Некоторые авторы теории вероятности называют это « формулой условной ковариации ». или используйте другие имена.

Примечание. Условные ожидаемые значения E( X | Z ) и E( Y | Z ) являются случайными переменными, значения которых зависят от значения Z . Обратите внимание, что условное ожидаемое значение X при событии Z = z является функцией z . Если мы напишем E( X | Z = z ) = g ( z ), то случайная величина E ( X | Z ) равна g ( Z ). Аналогичные комментарии применимы и к условной ковариации.

Доказательство

Закон полной ковариации можно доказать, используя закон полного ожидания : во-первых,

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]$

из простого стандартного тождества о ковариациях. Затем мы применяем закон полного ожидания, обуславливая случайную величину Z :

$=\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [XY\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}$

Теперь перепишем термин внутри первого ожидания, используя определение ковариации:

$=\operatorname {E} \!{\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z)+\operatorname {E} [X\mid Z]\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}$

Поскольку ожидание суммы — это сумма ожиданий, мы можем перегруппировать термины:

$=\operatorname {E} \!{\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z){\big ]}+\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}$

Наконец, мы признаем последние два члена как ковариацию условных ожиданий E[ X | Z ] и E[ Y | З ]:

$=\operatorname {E} {\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z){\big ]}+\operatorname {cov} {\big (}\operatorname {E} [X\mid Z],\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big )}$

См. также

• Закон полной дисперсии соответствующий X = Y. , частный случай ,
• Закон полной кумулятивности , частным случаем которого является закон полной ковариации.