Условное ожидание

В теории вероятностей условное ожидание , условное ожидаемое значение или условное среднее случайной величины — это ее ожидаемое значение, оцененное относительно условного распределения вероятностей . Если случайная величина может принимать только конечное число значений, «условия» заключаются в том, что переменная может принимать только подмножество этих значений. Более формально, в случае, когда случайная величина определена в дискретном вероятностном пространстве , «условия» представляют собой разбиение этого вероятностного пространства.

В зависимости от контекста условное ожидание может быть либо случайной величиной, либо функцией. Случайная величина обозначается $E(X\mid Y)$ аналогично условной вероятности . Форма функции либо обозначается $E(X\mid Y=y)$ или отдельный функциональный символ, например $f(y)$ вводится со смыслом $E(X\mid Y)=f(Y)$.

Примеры

Пример 1: Бросок кубиков

Рассмотрим бросок игральной кости и пусть A = 1, если число четное (т. е. 2, 4 или 6), и A = 0 в противном случае. Кроме того, пусть B = 1, если число простое (т. е. 2, 3 или 5), и B = 0 в противном случае.

	1	2	3	4	5	6
А	0	1	0	1	0	1
Б	0	1	1	0	1	0

Безусловным ожиданием А является $E[A]=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2$, но ожидание A при условии B = 1 (т. е. при условии, что при броске кубика выпадет 2, 3 или 5) равно $E[A\mid B=1]=(1+0+0)/3=1/3$, а ожидание A при условии B = 0 (т. е. при условии, что при броске кубика выпадет 1, 4 или 6) равно $E[A\mid B=0]=(0+1+1)/3=2/3$. Аналогично, ожидание B при условии A = 1 равно $E[B\mid A=1]=(1+0+0)/3=1/3$, а ожидание B при условии A = 0 равно $E[B\mid A=0]=(0+1+1)/3=2/3$.

Пример 2: Данные об осадках

Предположим, у нас есть данные о суточном количестве осадков (мм дождя в день), собранные метеостанцией каждый день десятилетнего (3652-дневного) периода с 1 января 1990 г. по 31 декабря 1999 г. неуказанный день — это среднее количество осадков за эти 3652 дня. Условное ожидание количества осадков в течение неуказанного дня, который, как известно , приходится на март (при условии его наступления), представляет собой среднее количество ежедневных осадков за все 310 дней десятилетнего периода, выпадающего на март. А условное ожидание осадков в дни, датированные 2 марта, представляет собой среднее количество осадков, выпавших за десять дней с этой конкретной датой.

История

Соответствующая концепция условной вероятности восходит, по крайней мере, к Лапласу , который рассчитал условные распределения. Именно Андрей Колмогоров в 1933 году формализовал его с помощью теоремы Радона–Никодима . В произведениях Пауля Халмоша и Джозеф Л. Дуб с 1953 года условное ожидание было обобщено до его современного определения с использованием суб-σ-алгебр .

Определения

Кондиционирование по событию

Если А — событие в ${\mathcal {F}}$ с ненулевой вероятностью,и X — дискретная случайная величина , условное математическое ожидание при X условии, что A есть

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid A)&=\sum _{x}xP(X=x\mid A)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(\{X=x\}\cap A)}{P(A)}}\end{aligned}}$

где сумма берется по всем возможным результатам X .

Если $P(A)=0$, условное математическое ожидание неопределенно из-за деления на ноль.

Дискретные случайные величины

Если X и Y — дискретные случайные величины ,условное ожидание X при условии Y равно

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\sum _{x}xP(X=x\mid Y=y)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}\end{aligned}}$

где $P(X=x,Y=y)$ — массовая функция X Y. и совместная вероятности Сумма берется по всем возможным результатам X .

Обратите внимание, что, как указано выше, выражение не определено, если $P(Y=y)=0$.

Обусловливание дискретной случайной величины аналогично обуславливанию соответствующего события:

$\operatorname {E} (X\mid Y=y)=\operatorname {E} (X\mid A)$

где A - множество $\{Y=y\}$.

Непрерывные случайные величины

Позволять $X$ и $Y$ быть непрерывными случайными величинами с плотностью соединений $f_{X,Y}(x,y),$$Y$плотность $f_{Y}(y),$и условная плотность $\textstyle f_{X|Y}(x|y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}$ из $X$ учитывая событие $Y=y.$Условное ожидание $X$ данный $Y=y$ является

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X|Y}(x\mid y)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{f_{Y}(y)}}\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

Когда знаменатель равен нулю, выражение не определено.

Обусловливание непрерывной случайной величиной — это не то же самое, что обусловливание события. $\{Y=y\}$ как это было в дискретном случае. Для обсуждения см. Обусловливание события с нулевой вероятностью . Несоблюдение этого различия может привести к противоречивым выводам, как это иллюстрирует парадокс Бореля-Колмогорова .

л ² случайные величины

Предполагается, что все случайные величины в этом разделе находятся в $L^{2}$, то есть квадратично интегрируемый .В своей полной общности условное ожидание развивается без этого предположения, см. ниже раздел « Условное ожидание в отношении под-σ-алгебры» . $L^{2}$ теория, однако, считается более интуитивной и допускает важные обобщения .В контексте $L^{2}$ случайные величины, условное ожидание также называют регрессией .

В дальнейшем пусть $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть вероятностным пространством, и $X:\Omega \to \mathbb {R}$ в $L^{2}$ со средним $\mu _{X}$ и дисперсия $\sigma _{X}^{2}$.Ожидание $\mu _{X}$ минимизирует среднеквадратическую ошибку :

$\min _{x\in \mathbb {R} }\operatorname {E} \left((X-x)^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-\mu _{X})^{2}\right)=\sigma _{X}^{2}$.

Условное математическое ожидание X определяется аналогично, только вместо одного числа $\mu _{X}$, результатом будет функция $e_{X}(y)$. Позволять $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ быть случайным вектором . Условное ожидание $e_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — измеримая функция такая, что

$\min _{g{\text{ measurable }}}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-e_{X}(Y))^{2}\right)$.

Обратите внимание, что в отличие от $\mu _{X}$, условное ожидание $e_{X}$ как правило, не уникален: может быть несколько минимизаторов среднеквадратической ошибки.

Уникальность

Пример 1. Рассмотрим случай, когда Y — постоянная случайная величина, которая всегда равна 1.Тогда среднеквадратическая ошибка минимизируется любой функцией вида

$e_{X}(y)={\begin{cases}\mu _{X}&{\text{ if }}y=1\\{\text{any number}}&{\text{ otherwise}}\end{cases}}$

Пример 2. Рассмотрим случай, когда Y — двумерный случайный вектор. $(X,2X)$. Тогда ясно

$\operatorname {E} (X\mid Y)=X$

но через функции это можно выразить как $e_{X}(y_{1},y_{2})=3y_{1}-y_{2}$ или $e'_{X}(y_{1},y_{2})=y_{2}-y_{1}$ или бесконечно многими другими способами. В контексте линейной регрессии это отсутствие уникальности называется мультиколлинеарностью .

Условное ожидание уникально с точностью до множества нулевой меры в $\mathbb {R} ^{n}$. Используемая мера — это мера продвижения вперед, индуцированная Y .

В первом примере мера продвижения представляет собой распределение Дирака при 1. Во втором она сосредоточена на «диагонали». $\{y:y_{2}=2y_{1}\}$, так что любое множество, не пересекающееся с ним, имеет меру 0.

Существование

Наличие минимайзера для $\min _{g}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)$ является нетривиальным. Можно показать, что

$M:=\{g(Y):g{\text{ is measurable and }}\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}=L^{2}(\Omega ,\sigma (Y))$

является замкнутым подпространством гильбертова пространства $L^{2}(\Omega )$. По теореме о проекции Гильберта необходимое и достаточное условие $e_{X}$ быть минимизатором - это для всех $f(Y)$ в М у нас есть

$\langle X-e_{X}(Y),f(Y)\rangle =0$.

Другими словами, это уравнение говорит о том, что невязка $X-e_{X}(Y)$ ортогонален пространству M всех функций из Y .Это условие ортогональности применительно к индикаторным функциям $f(Y)=1_{Y\in H}$,используется ниже, чтобы распространить условное ожидание на случай, когда X и Y не обязательно находятся в $L^{2}$.

Связь с регрессией

Условное математическое ожидание часто аппроксимируют в прикладной математике и статистике из-за трудностей его аналитического расчета и интерполяции.

Гильбертово подпространство

$M=\{g(Y):\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}$

определенное выше, заменяется его подмножествами путем ограничения функциональной формы g вместо разрешения какой-либо измеримой функции. Примерами этого являются регрессия дерева решений , когда g должна быть простой функцией , линейная регрессия , когда g должна быть аффинной , и т. д.

Эти обобщения условного ожидания происходят за счет многих его свойств потери .Например, пусть М — пространство всех линейных функций от Y и пусть ${\mathcal {E}}_{M}$ обозначим это обобщенное условное ожидание/ $L^{2}$ проекция. Если $M$ не содержит константных функций , свойства башни $\operatorname {E} ({\mathcal {E}}_{M}(X))=\operatorname {E} (X)$не выдержит.

Важным особым случаем является случай, когда X и Y совместно нормально распределены. В этом случаеможно показать, что условное ожидание эквивалентно линейной регрессии:

$e_{X}(Y)=\alpha _{0}+\sum _{i}\alpha _{i}Y_{i}$

для коэффициентов $\{\alpha _{i}\}_{i=0..n}$ описано в разделе «Многомерное нормальное распределение#Условные распределения» .

Условное ожидание относительно под-σ-алгебры

Условное ожидание относительно σ-алгебры: в этом примере вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ — интервал [0,1] с мерой Лебега . Определим следующие σ-алгебры: ${\mathcal {A}}={\mathcal {F}}$; ${\mathcal {B}}$ — σ-алгебра, порожденная интервалами с концами 0, 1 ⁄ 4 , 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 4 , 1; и ${\mathcal {C}}$ — σ-алгебра, порожденная интервалами с концами 0, 1 ⁄ 2 , 1. Здесь условное ожидание фактически является средним по минимальным наборам σ-алгебры.

Учтите следующее:

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ это вероятностное пространство .
• $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ является случайной величиной в этом вероятностном пространстве с конечным математическим ожиданием.
• ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {F}}$ является под- σ- алгеброй ${\mathcal {F}}$.

С ${\mathcal {H}}$ это суб $\sigma$-алгебра ${\mathcal {F}}$, функция $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ обычно нет ${\mathcal {H}}$-измеримы, поэтому существование интегралов вида ${\textstyle \int _{H}X\,dP|_{\mathcal {H}}}$, где $H\in {\mathcal {H}}$ и $P|_{\mathcal {H}}$ это ограничение $P$ к ${\mathcal {H}}$, не может быть сформулировано в общем. Однако местные средние значения ${\textstyle \int _{H}X\,dP}$ можно восстановить в $(\Omega ,{\mathcal {H}},P|_{\mathcal {H}})$ с помощью условного ожидания.

Условное ожидание при X условии ${\mathcal {H}}$, обозначенный как $\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$, есть ли какой-нибудь ${\mathcal {H}}$- измеримая функция $\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ который удовлетворяет:

$\int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P$

для каждого $H\in {\mathcal {H}}$.

Как отмечается в $L^{2}$ обсуждение, это условие эквивалентно утверждению, что остаток $X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ ортогонален индикаторным функциям $1_{H}$:

$\langle X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}),1_{H}\rangle =0$

Существование

Существование $\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ можно установить, заметив, что ${\textstyle \mu ^{X}\colon F\mapsto \int _{F}X\,\mathrm {d} P}$ для $F\in {\mathcal {F}}$ является конечной мерой на $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ непрерывен абсолютно относительно $P$. Если $h$ это естественная инъекция из ${\mathcal {H}}$ к ${\mathcal {F}}$, затем $\mu ^{X}\circ h=\mu ^{X}|_{\mathcal {H}}$ это ограничение $\mu ^{X}$ к ${\mathcal {H}}$ и $P\circ h=P|_{\mathcal {H}}$ это ограничение $P$ к ${\mathcal {H}}$. Более того, $\mu ^{X}\circ h$ абсолютно непрерывен относительно $P\circ h$, поскольку условие

$P\circ h(H)=0\iff P(h(H))=0$

подразумевает

$\mu ^{X}(h(H))=0\iff \mu ^{X}\circ h(H)=0.$

Таким образом, мы имеем

$\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})={\frac {\mathrm {d} \mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} P|_{\mathcal {H}}}}={\frac {\mathrm {d} (\mu ^{X}\circ h)}{\mathrm {d} (P\circ h)}},$

где производные представляют собой Радона–Никодима производные меры .

Условное ожидание относительно случайной величины

Рассмотрим, помимо вышесказанного,

• Измеримое пространство $(U,\Sigma )$, и
• Случайная величина $Y\colon \Omega \to U$.

Условное ожидание X при условии Y определяется применением приведенной выше конструкции к σ-алгебре, порожденной Y :

$\operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]$.

По лемме Дуба-Дынкина существует функция $e_{X}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ такой, что

$\operatorname {E} [X\mid Y]=e_{X}(Y)$.

Обсуждение

• Это неконструктивное определение; нам просто дано требуемое свойство, которому должно удовлетворять условное ожидание.
  • Определение $\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ может напоминать $\operatorname {E} (X\mid H)$ для мероприятия $H$ но это очень разные объекты. Первый представляет собой ${\mathcal {H}}$-измеримая функция $\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$, а последний является элементом $\mathbb {R} ^{n}$ и $\operatorname {E} (X\mid H)\ P(H)=\int _{H}X\,\mathrm {d} P=\int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P$ для $H\in {\mathcal {H}}$.
  • Можно показать, что уникальность почти гарантирована : то есть версии одного и того же условного ожидания будут различаться только на множестве с нулевой вероятностью .
• σ-алгебра ${\mathcal {H}}$ контролирует «детальность» кондиционирования. Условное ожидание $E(X\mid {\mathcal {H}})$ над более тонкой (большой) σ-алгеброй ${\mathcal {H}}$ сохраняет информацию о вероятностях более широкого класса событий. Условное ожидание по более грубой (меньшей) σ-алгебре усредняет большее количество событий.

Условная вероятность

Основная статья: Регулярная условная вероятность

Для борелевского подмножества B в ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$, можно рассматривать совокупность случайных величин

$\kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,B):=\operatorname {E} (1_{X\in B}|{\mathcal {H}})(\omega )$.

Можно показать, что они образуют ядро ​​Маркова , т. е. почти для всех $\omega$, $\kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,-)$ является вероятностной мерой.

закон бессознательного статистика Тогда

$\operatorname {E} [f(X)|{\mathcal {H}}]=\int f(x)\kappa _{\mathcal {H}}(-,\mathrm {d} x)$.

Это показывает, что условные ожидания, как и их безусловные аналоги, представляют собой интеграции,против условной меры.

Общее определение

В целом рассмотрим:

• Вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$.
• Банахово пространство $(E,\|\cdot \|_{E})$.
• Интегрируемая по Бохнеру случайная величина $X:\Omega \to E$.
• И суб-σ-алгебра ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {A}}$.

Условное ожидание ​ $X$ данный ${\mathcal {H}}$ это до $P$-nullset уникальный и интегрируемый $E$-ценный ${\mathcal {H}}$-измеримая случайная величина $\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ удовлетворяющий

$\int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P$

для всех $H\in {\mathcal {H}}$.

В этом случае условное ожидание иногда также обозначается в операторной записи как $\operatorname {E} ^{\mathcal {H}}X$.

Основные свойства

Все следующие формулы следует понимать почти наверняка. σ-алгебра ${\mathcal {H}}$ можно заменить случайной величиной $Z$, то есть ${\mathcal {H}}=\sigma (Z)$.

• Вытягиваем независимые факторы:
  • Если $X$ не зависит от ${\mathcal {H}}$, затем $E(X\mid {\mathcal {H}})=E(X)$.

показывать

Доказательство

Let $B\in {\mathcal {H}}$. Then $X$ is independent of $1_{B}$, so we get that

$\int _{B}X\,dP=E(X1_{B})=E(X)E(1_{B})=E(X)P(B)=\int _{B}E(X)\,dP.$

Thus the definition of conditional expectation is satisfied by the constant random variable $E(X)$, as desired. $\square$

• • Если $X$ не зависит от $\sigma (Y,{\mathcal {H}})$, затем $E(XY\mid {\mathcal {H}})=E(X)\,E(Y\mid {\mathcal {H}})$. Обратите внимание, что это не обязательно так, если $X$ не зависит только от ${\mathcal {H}}$ и из $Y$.
  • Если $X,Y$ независимы, ${\mathcal {G}},{\mathcal {H}}$ независимы, $X$ не зависит от ${\mathcal {H}}$ и $Y$ не зависит от ${\mathcal {G}}$, затем $E(E(XY\mid {\mathcal {G}})\mid {\mathcal {H}})=E(X)E(Y)=E(E(XY\mid {\mathcal {H}})\mid {\mathcal {G}})$.
• Стабильность:
  • Если $X$ является ${\mathcal {H}}$-измеримо, тогда $E(X\mid {\mathcal {H}})=X$.

показывать

Доказательство

For each $H\in {\mathcal {H}}$ we have $\int _{H}E(X|{\mathcal {H}})dP=\int _{H}XdP$, or equivalently

$\int _{H}{\big (}E(X|{\mathcal {H}})-X{\big )}dP=0$

Since this is true for each $H\in {\mathcal {H}}$, and both $E(X|{\mathcal {H}})$ and $X$ are ${\mathcal {H}}$-measurable (the former property holds by definition; the latter property is key here), from this one can show

$\int _{H}{\big |}E(X|{\mathcal {H}})-X{\big |}dP=0$

And this implies $E(X|{\mathcal {H}})=X$ almost everywhere. $\square$

• • В частности, для под-σ-алгебр ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$ у нас есть $E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})\mid {\mathcal {H}}_{2})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})$.
  • Если Z — случайная величина, то $\operatorname {E} (f(Z)\mid Z)=f(Z)$. В самой простой форме это говорит $\operatorname {E} (Z\mid Z)=Z$.
• Вытягиваем известные факторы:
  • Если $X$ является ${\mathcal {H}}$-измеримо, тогда $E(XY\mid {\mathcal {H}})=X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})$.

показывать

Доказательство

All random variables here are assumed without loss of generality to be non-negative. The general case can be treated with $X=X^{+}-X^{-}$.

Fix $A\in {\mathcal {H}}$ and let $X=1_{A}$. Then for any $H\in {\mathcal {H}}$

$\int _{H}E(1_{A}Y|{\mathcal {H}})dP=\int _{H}1_{A}YdP=\int _{A\cap H}YdP=\int _{A\cap H}E(Y|{\mathcal {H}})dP=\int _{H}1_{A}E(Y|{\mathcal {H}})dP$

Hence $E(1_{A}Y|{\mathcal {H}})=1_{A}E(Y|{\mathcal {H}})$ almost everywhere.

Any simple function is a finite linear combination of indicator functions. By linearity the above property holds for simple functions: if $X_{n}$ is a simple function then $E(X_{n}Y|{\mathcal {H}})=X_{n}\,E(Y|{\mathcal {H}})$.

Now let $X$ be ${\mathcal {H}}$-measurable. Then there exists a sequence of simple functions $\{X_{n}\}_{n\geq 1}$ converging monotonically (here meaning $X_{n}\leq X_{n+1}$) and pointwise to $X$. Consequently, for $Y\geq 0$, the sequence $\{X_{n}Y\}_{n\geq 1}$ converges monotonically and pointwise to $XY$.

Also, since $E(Y|{\mathcal {H}})\geq 0$, the sequence $\{X_{n}E(Y|{\mathcal {H}})\}_{n\geq 1}$ converges monotonically and pointwise to $X\,E(Y|{\mathcal {H}})$

Combining the special case proved for simple functions, the definition of conditional expectation, and deploying the monotone convergence theorem:

$\int _{H}X\,E(Y|{\mathcal {H}})dP=\int _{H}\lim _{n\to \infty }X_{n}\,E(Y|{\mathcal {H}})dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}X_{n}E(Y|{\mathcal {H}})dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}E(X_{n}Y|{\mathcal {H}})dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}X_{n}YdP=\int _{H}\lim _{n\to \infty }X_{n}YdP=\int _{H}XYdP=\int _{H}E(XY|{\mathcal {H}})dP$

This holds for all $H\in {\mathcal {H}}$, whence $X\,E(Y|{\mathcal {H}})=E(XY|{\mathcal {H}})$ almost everywhere. $\square$

• • Если Z — случайная величина, то $\operatorname {E} (f(Z)Y\mid Z)=f(Z)\operatorname {E} (Y\mid Z)$.
• Закон общего ожидания : $E(E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X)$.
• Свойство башни:
  • Для суб-σ-алгебр ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$ у нас есть $E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2})\mid {\mathcal {H}}_{1})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})$.
    • Особый случай ${\mathcal {H}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}$ восстанавливает закон полного ожидания: $E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2}))=E(X)$.
    • Особым случаем является случай, когда Z является ${\mathcal {H}}$-измеримая случайная величина. Затем $\sigma (Z)\subset {\mathcal {H}}$ и таким образом $E(E(X\mid {\mathcal {H}})\mid Z)=E(X\mid Z)$.
    • Свойство мартингейла Doob : вышеописанное с $Z=E(X\mid {\mathcal {H}})$ (что ${\mathcal {H}}$-измеримый), а также используя $\operatorname {E} (Z\mid Z)=Z$, дает $E(X\mid E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X\mid {\mathcal {H}})$.
  • Для случайных величин $X,Y$ у нас есть $E(E(X\mid Y)\mid f(Y))=E(X\mid f(Y))$.
  • Для случайных величин $X,Y,Z$ у нас есть $E(E(X\mid Y,Z)\mid Y)=E(X\mid Y)$.
• Линейность: у нас есть $E(X_{1}+X_{2}\mid {\mathcal {H}})=E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})+E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})$ и $E(aX\mid {\mathcal {H}})=a\,E(X\mid {\mathcal {H}})$ для $a\in \mathbb {R}$.
• Позитивность: если $X\geq 0$ затем $E(X\mid {\mathcal {H}})\geq 0$.
• Монотонность: Если $X_{1}\leq X_{2}$ затем $E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})\leq E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})$.
• Монотонная сходимость : если $0\leq X_{n}\uparrow X$ затем $E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\uparrow E(X\mid {\mathcal {H}})$.
• Доминируемая конвергенция : если $X_{n}\to X$ и $|X_{n}|\leq Y$ с $Y\in L^{1}$, затем $E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\to E(X\mid {\mathcal {H}})$.
• Лемма Фату : если $\textstyle E(\inf _{n}X_{n}\mid {\mathcal {H}})>-\infty$ затем $\textstyle E(\liminf _{n\to \infty }X_{n}\mid {\mathcal {H}})\leq \liminf _{n\to \infty }E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})$.
• Неравенство Йенсена : если $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ является выпуклой функцией , то $f(E(X\mid {\mathcal {H}}))\leq E(f(X)\mid {\mathcal {H}})$.
• Условная дисперсия : Используя условное ожидание, мы можем определить, по аналогии с определением дисперсии как среднеквадратического отклонения от среднего, условную дисперсию.
  • Определение: $\operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))^{2}\mid {\mathcal {H}}{\bigr )}$
  • Алгебраическая формула дисперсии: $\operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} (X^{2}\mid {\mathcal {H}})-{\bigl (}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}){\bigr )}^{2}$
  • Закон полной дисперсии : $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}}))+\operatorname {Var} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))$.
• Сходимость по Мартингейлу : для случайной величины $X$, имеющее конечное математическое ожидание, мы имеем $E(X\mid {\mathcal {H}}_{n})\to E(X\mid {\mathcal {H}})$, если либо ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset \dotsb$ является возрастающей серией суб-σ-алгебр и $\textstyle {\mathcal {H}}=\sigma (\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n})$ или если ${\mathcal {H}}_{1}\supset {\mathcal {H}}_{2}\supset \dotsb$ является убывающей серией под-σ-алгебр и $\textstyle {\mathcal {H}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n}$.
• Условное ожидание как $L^{2}$-проекция: если $X,Y$ находятся в гильбертовом пространстве действительных интегрируемых с квадратом случайных величин (действительных случайных величин с конечным вторым моментом), тогда
  • для ${\mathcal {H}}$-измеримый $Y$, у нас есть $E(Y(X-E(X\mid {\mathcal {H}})))=0$, т.е. условное ожидание $E(X\mid {\mathcal {H}})$ в смысле L ² ( P ) скалярное произведение ортогональной проекции из $X$ в подпространство линейное ${\mathcal {H}}$-измеримые функции. (Это позволяет определить и доказать существование условного математического ожидания на основе теоремы о проекции Гильберта .)
  • картографирование $X\mapsto \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ является самосопряженным : $\operatorname {E} (X\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}}))=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}})\right)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})Y)$
• Обусловливание — это сжимающая проекция L ^п пространства $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\rightarrow L^{p}(\Omega ,{\mathcal {H}},P)$. Т.е., $\operatorname {E} {\big (}|\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})|^{p}{\big )}\leq \operatorname {E} {\big (}|X|^{p}{\big )}$ для любого p ≥ 1.
• Свойство условной независимости Дуба: Если $X,Y$ учитывая условно независимы , $Z$, затем $P(X\in B\mid Y,Z)=P(X\in B\mid Z)$ (эквивалентно, $E(1_{\{X\in B\}}\mid Y,Z)=E(1_{\{X\in B\}}\mid Z)$).

См. также

• Обусловливание (вероятность)
• Теорема о дезинтеграции
• Лемма Добба–Динкина.
• Лемма о факторизации
• Скрытая модель Маркова
• Совместное распределение вероятностей
• Некоммутативное условное ожидание

Законы вероятности

• Закон полной кумулятивности (обобщает остальные три)
• Закон общего ожидания
• Закон полной вероятности
• Закон полной дисперсии

Ссылки

• Уильям Феллер , Введение в теорию вероятностей и ее приложения , том 1, 1950, стр. 223.
• Пол А. Мейер, Вероятность и потенциалы , Blaisdell Publishing Co., 1966, стр. 28.
• Гриметт, Джеффри ; Стирзакер, Дэвид (2001). Вероятность и случайные процессы (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-857222-0 . , стр. 67–69

Внешние ссылки

• Ушаков, Н.Г. (2001) [1994], «Условное математическое ожидание» , Энциклопедия Математики , EMS Press