Некоммутативное условное ожидание

В математике . некоммутативное условное ожидание является обобщением понятия ожидания в классической вероятности условного Пространство существенно ограниченных измеримых функций на $\sigma$-конечная мера пространства $(X,\mu )$ является каноническим примером коммутативной алгебры фон Неймана . По этой причине теорию алгебр фон Неймана иногда называют некоммутативной теорией меры. Тесные связи теории вероятностей с теорией меры позволяют предположить, что можно расширить классические идеи вероятности на некоммутативную среду, изучая эти идеи на общих алгебрах фон Неймана.

Для алгебр фон Неймана с точным нормальным следовым состоянием, например, для конечных алгебр фон Неймана, понятие условного ожидания особенно полезно.

Формальное определение

Позволять ${\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {S}}$ быть алгебрами фон Неймана ( ${\mathcal {S}}$ и ${\mathcal {R}}$ могут быть и общими С*-алгебрами ), положительное линейное отображение $\Phi$ из ${\mathcal {S}}$ на ${\mathcal {R}}$ называется условным ожиданием (от ${\mathcal {S}}$ на ${\mathcal {R}}$) когда $\Phi (I)=I$ и $\Phi (R_{1}SR_{2})=R_{1}\Phi (S)R_{2}$ если $R_{1},R_{2}\in {\mathcal {R}}$ и $S\in {\mathcal {S}}$.

Приложения

Теорема Сакаи

Позволять ${\mathcal {B}}$ быть C*-подалгеброй C*-алгебры ${\mathfrak {A}},\varphi _{0}$ идемпотентное линейное отображение ${\mathfrak {A}}$ на ${\mathcal {B}}$ такой, что $\|\varphi _{0}\|=1,{\mathfrak {A}}$ действуя на ${\mathcal {H}}$ универсальное представительство ${\mathfrak {A}}$. Затем $\varphi _{0}$ однозначно продолжается до сверхслабо непрерывного идемпотентного линейного отображения $\varphi$ из ${\mathfrak {A}}^{-}$, слабооператорное замыкание ${\mathfrak {A}}$, на ${\mathcal {B}}^{-}$, слабооператорное замыкание ${\mathcal {B}}$.

В приведенной выше настройке результат Впервые доказанное Томиямой, можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Позволять ${\mathfrak {A}},{\mathcal {B}},\varphi ,\varphi _{0}$ быть таким, как описано выше. Затем $\varphi$ это условное ожидание от ${\mathfrak {A}}^{-}$ на ${\mathcal {B}}^{-}$ и $\varphi _{0}$ это условное ожидание от ${\mathfrak {A}}$ на ${\mathcal {B}}$.

С помощью теоремы Томиямы можно дать изящное доказательство результата Сакаи о характеризации тех С*-алгебр, *-изоморфных алгебрам фон Неймана.

Ссылки

• Кадисон Р.В. , Некоммутативные условные ожидания и их приложения , Современная математика, Vol. 365 (2004), стр. 143–179.