Лемма Добба–Динкина.

«Лемма Дынкина» перенаправляется сюда. За заявление о $\lambda$-системы, см. Система Дынкина § Теорема Серпинского-Дынкина о π-λ .

В теории вероятностей лемма Дуба-Дынкина , названная в честь Джозефа Л. Дуба и Юджина Дынкина (также известная как лемма факторизации ), характеризует ситуацию, когда одна случайная величина является функцией другой за включения счет $\sigma$-алгебры, порожденные случайными величинами. Обычное утверждение леммы формулируется в терминах одной случайной величины, измеримой относительно $\sigma$-алгебра, порожденная другим.

Лемма играет важную роль в условном ожидании в теории вероятностей, где она позволяет заменить условие на случайную величину условием на $\sigma$-алгебра случайной , порождаемая величиной.

Обозначения и вводные замечания

В лемме ниже ${\mathcal {B}}[0,1]$ это $\sigma$-алгебра Бореля устанавливает $[0,1].$ Если $T\colon X\to Y,$ и $(Y,{\mathcal {Y}})$ — измеримое пространство, то

$\sigma (T)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{T^{-1}(S)\mid S\in {\mathcal {Y}}\}$

самый маленький $\sigma$-алгебра на $X$ такой, что $T$ является $\sigma (T)/{\mathcal {Y}}$-измеримый.

Утверждение леммы

Позволять $T\colon \Omega \rightarrow \Omega '$ быть функцией, и $(\Omega ',{\mathcal {A}}')$ измеримое пространство. Функция $f\colon \Omega \rightarrow [0,1]$ является $\sigma (T)/{\mathcal {B}}[0,1]$-измеримо тогда и только тогда, когда $f=g\circ T,$ для некоторых ${\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]$-измеримый $g\colon \Omega '\to [0,1].$

Замечание. Часть «если» просто утверждает, что композиция двух измеримых функций измерима. Часть «только если» доказана ниже.

показывать Доказательство.

Let $f$ be $\sigma (T)/{\mathcal {B}}[0,1]$-measurable.

Assume that $f=\mathbf {1} _{A}$ is an indicator of some set $A\in \sigma (T).$ If $A=T^{-1}(A'),$ then the function $g={\mathbf {1} }_{A'}$ suits the requirement. By linearity, the claim extends to any simple measurable function $f.$

Let $f$ be measurable but not necessarily simple. As explained in the article on simple functions, $f$ is a pointwise limit of a monotonically non-decreasing sequence $f_{n}\geq 0$ of simple functions. The previous step guarantees that $f_{n}=g_{n}\circ T,$ for some measurable $g_{n}.$ The supremum $\textstyle g(x)=\sup _{n\geq 1}g_{n}(x)$ exists on the entire $\Omega '$ and is measurable. (The article on measurable functions explains why supremum of a sequence of measurable functions is measurable). For every $x\in \operatorname {Im} T,$ the sequence $g_{n}(x)$ is non-decreasing, so $\textstyle g|_{\operatorname {Im} T}(x)=\lim _{n\to \infty }g_{n}|_{\operatorname {Im} T}(x)$ which shows that $f=g\circ T.$

Замечание. Лемма остается справедливой, если пространство $([0,1],{\mathcal {B}}[0,1])$ заменяется на $(S,{\mathcal {B}}(S)),$ где $S\subseteq [-\infty ,\infty ],$ $S$ является биективным с $[0,1],$ и биекция измерима в обоих направлениях.

По определению, измеримость $f$ означает, что $f^{-1}(S)\in \sigma (T)$ для каждого набора Бореля $S\subseteq [0,1].$ Поэтому $\sigma (f)\subseteq \sigma (T),$ и лемму можно переформулировать следующим образом.

Лемма. Позволять $T\colon \Omega \rightarrow \Omega ',$ $f\colon \Omega \rightarrow [0,1],$ и $(\Omega ',{\mathcal {A}}')$ это измеримое пространство. Затем $f=g\circ T,$ для некоторых ${\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]$-измеримый $g\colon \Omega '\to [0,1],$ тогда и только тогда, когда $\sigma (f)\subseteq \sigma (T)$.

См. также

• Условное ожидание

Ссылки

• А. Бобровски: Функциональный анализ вероятностей и случайных процессов: введение , Cambridge University Press (2005), ISBN   0-521-83166-0
• М. М. Рао, Р. Дж. Свифт: Теория вероятностей с приложениями , Математика и ее приложения, том. 582, Шпрингер-Верлаг (2006), ISBN   0-387-27730-7 дои : 10.1007/0-387-27731-5