Модель ГЭС

Модель Харди-Помо-Пацциса (HPP) представляет собой фундаментальный решеточный газовый автомат для моделирования газов и жидкостей. Это был предшественник решеточных методов Больцмана . Из автоматов решеточного газа можно вывести макроскопические уравнения Навье-Стокса . ^[1] Интерес к автоматным методам решеточного газа снизился в начале 1990-х годов в связи с ростом интереса к решеточным методам Больцмана. ^[2]

Впервые он был представлен в статьях, опубликованных в 1973 и 1976 годах Жаном Харди, Ивом Помо и Оливье де Пацци. ^[3] чьи инициалы дали модели название. Модель можно использовать как простую модель как для движения газов, так и для жидкости. ^[4]

Модель

В этой модели решетка принимает форму двумерной квадратной сетки, частицы которой могут перемещаться в любую из четырех соседних точек сетки, имеющих общий край, а частицы не могут перемещаться по диагонали. Это означает, что каждая точка сетки может иметь только одно из шестнадцати возможных взаимодействий.

Частицы существуют только в узлах сетки, но никогда на краях или поверхности решетки.
Каждая частица имеет связанное с ней направление (от одной точки сетки к другой, непосредственно примыкающей к ней).
Каждая ячейка решетчатой сетки может содержать максимум одну частицу для каждого направления, т.е. содержать в общей сложности от нуля до четырех частиц.

Моделирование модели Харди-Помо-Пацциса, которая начинается с плотного белого квадрата посередине. — Реализация модели HPP. Сетка размером 300x200 пикселей использовалась с геометрией, напоминающей тор, то есть частицы, покидающие сетку слева, снова входят в правую часть, частицы, выходящие сверху, входят снизу и т. д. Плотность частиц отображается белым пикселем, имеющим максимальную плотность с 4. частицы и черный наименее плотный с 0 частиц. Симуляция начинается с квадрата высокого давления размером 100x100 посередине.

Модель также регулируется следующими правилами:

Отдельная частица движется в фиксированном направлении, пока не сталкивается.
Две частицы, столкнувшиеся лобовым столкновением, отклоняются перпендикулярно.
Две частицы испытывают нелобовое столкновение, просто проходят сквозь друг друга и продолжают движение в одном направлении.
При желании, когда частица сталкивается с краями решетки, она может отскочить.

Модели HPP проходят двухэтапный процесс обновления.

Шаг столкновения

На этом этапе вышеуказанные правила 2, 3 и 4 проверяются и применяются, если произошли какие-либо коллизии. Это приводит к тому, что частицы, сталкивающиеся при лобовом столкновении, меняют направление, сквозные столкновения продолжаются без изменений, а не сталкивающиеся частицы просто остаются прежними.

Транспортный этап

Второй шаг состоит в том, что каждая частица перемещается на один шаг решетки в том направлении, в котором она движется в данный момент, которое могло быть изменено на вышеупомянутом этапе столкновения.

Формальное определение

Модель работает на бесконечной двумерной квадратной решетке, где четыре единичных вектора связаны со следующими числами: $1\mapsto \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right),2\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right),3\mapsto \left({\begin{array}{c}-1\\0\end{array}}\right),4\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\-1\end{array}}\right)$ . ^[5]

Позволять $X$ быть разрешенной конфигурацией. Функция $\sigma _{X}$ проверяет существование частицы с определенной скоростью, при этом ${\bar {\sigma }}_{X}$ делает обратное:

$\sigma _{X}(p,q,i)={\begin{cases}1{\text{ if the site }}(p,q){\text{ is occupied by a particle of }}X{\text{ of velocity }}i,\\0{\text{ otherwise.}}\end{cases}}$ ^[5]

${\bar {\sigma }}_{X}(p,q,i)=1-\sigma _{X}(p,q,i)$ ^[5]

Преемник $T(X)$ конфигурации $X$ можно рассчитать по формулам из оригинальной статьи ^[5]: ${\begin{array}{lcl}\sigma _{T(X)}(p,q,1)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,2)&=&\sigma _{X}(p,q-1,2)+\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,3)&=&\sigma _{X}(p+1,q,3)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,4)&=&\sigma _{X}(p,q+1,4)+\Psi _{X}(p,q)\end{array}}$ ${\begin{array}{lcl}\Psi _{X}(p,q)&=&\psi _{X}^{1}(p,q)-\psi _{X}^{2}(p,q)\\\psi _{X}^{1}(p,q)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)\sigma _{X}(p+1,q,3){\bar {\sigma }}_{X}(p,q-1,2){\bar {\sigma }}_{X}(p,q+1,4)\\\psi _{X}^{2}(p,q)&=&{\bar {\sigma }}_{X}(p-1,q,1){\bar {\sigma }}_{X}(p+1,q,3)\sigma _{X}(p,q-1,2)\sigma _{X}(p,q+1,4)\end{array}}$

Недостатки

Модель имеет серьезные недостатки, поскольку импульс всегда сохраняется как в горизонтальной, так и в вертикальной направлениях. Никакая энергия никогда не удаляется из модели ни в результате столкновений, ни в результате движения, поэтому это будет продолжаться бесконечно.

Модель HPP не имела вращательной инвариантности , что делало ее очень анизотропной . Это означает, например, что вихри, создаваемые моделью HPP, имеют квадратную форму. ^[6]

Примечания

^ Суччи, раздел 2.3 описывает процесс.
^ Суччи, раздел 2.6
^ Ротман, Дэниел Х.; Залески, Стефан, ред. (1997), «Простая модель механики жидкости» , Ячеистые автоматы с решеточным газом: простые модели сложной гидродинамики , Сборник Алеа-Сакле: Монографии и тексты по статистической физике, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 1–11, doi : 10.1017/CBO9780511524714.002 , ISBN 978-0-521-60760-5 , получено 24 августа 2022 г.
^ Gershenfeld, pp. 103
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Харди, Дж.; Помо, Ю.; де Пацци, О. (30 июля 1973 г.). «Эволюция во времени двумерной классической решетчатой системы» . Письма о физических отзывах . 31 (5): 276–279. doi : 10.1103/PhysRevLett.31.276 .
^ Суччи, сноска, стр. 22

Ссылки

Сауро Суччи (2001). Решеточное уравнение Больцмана для гидродинамики и не только . Оксфордские научные публикации. ISBN 0-19-850398-9 . (Глава 2, посвященная решеточным газовым клеточным автоматам)
Нил Гершенфельд (1998). Природа математического моделирования . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521570954 .

[1] Суччи, раздел 2.3 описывает процесс.

[2] Суччи, раздел 2.6

[3] Ротман, Дэниел Х.; Залески, Стефан, ред. (1997), «Простая модель механики жидкости» , Ячеистые автоматы с решеточным газом: простые модели сложной гидродинамики , Сборник Алеа-Сакле: Монографии и тексты по статистической физике, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 1–11, doi : 10.1017/CBO9780511524714.002 , ISBN 978-0-521-60760-5 , получено 24 августа 2022 г.

[4] Gershenfeld, pp. 103

[:0-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Харди, Дж.; Помо, Ю.; де Пацци, О. (30 июля 1973 г.). «Эволюция во времени двумерной классической решетчатой системы» . Письма о физических отзывах . 31 (5): 276–279. doi : 10.1103/PhysRevLett.31.276 .

[6] Суччи, сноска, стр. 22

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]